Algebra lineal

Páginas: 171 (42635 palabras) Publicado: 21 de septiembre de 2010
ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA

K. R. MATTHEWS

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

UNIVERSITY OF QUEENSLAND

Corrected Version, 10th February 2010 Comments to the author at keithmatt@gmail.com

Contents
1 LINEAR EQUATIONS 1.1 Introduction to linear equations . . . . 1.2 Solving linear equations . . . . . . . . 1.3 The Gauss–Jordan algorithm . . . . . 1.4 Systematic solution of linear systems. 1.5Homogeneous systems . . . . . . . . . 1.6 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . 2 MATRICES 2.1 Matrix arithmetic . . . . 2.2 Linear transformations . 2.3 Recurrence relations . . 2.4 PROBLEMS . . . . . . 2.5 Non–singular matrices . 2.6 Least squares solution of 2.7 PROBLEMS . . . . . . 3 SUBSPACES 3.1 Introduction . . . . 3.2 Subspaces of F n . 3.3 Linear dependence 3.4 Basis of a subspace 3.5 Rankand nullity of 3.6 PROBLEMS . . . 1 1 5 8 9 16 17 23 23 27 31 33 36 47 49 55 55 55 58 61 63 67

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a matrix . . . . . .

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4 DETERMINANTS 71 4.1 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 i

5 COMPLEX NUMBERS 5.1 Constructing the complex numbers 5.2 Calculating with complex numbers 5.3 Geometric representation of C . .. 5.4 Complex conjugate . . . . . . . . . 5.5 Modulus of a complex number . . 5.6 Argument of a complex number . . 5.7 De Moivre’s theorem . . . . . . . . 5.8 PROBLEMS . . . . . . . . . . . .

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89 89 91 95 96 99 103 107 111

6 EIGENVALUES AND EIGENVECTORS 115 6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.2 Definitions and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.3 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7 Identifying second degreeequations 129 7.1 The eigenvalue method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.2 A classification algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.3 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8 THREE–DIMENSIONAL GEOMETRY 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Three–dimensional space . . . . . . . . . . 8.3 Dot product . . . . . . . . . . . . . .. . . 8.4 Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 The angle between two vectors . . . . . . 8.6 The cross–product of two vectors . . . . . 8.7 Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . 9 FURTHER READING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 149 154 156 161 166 172 176 185 189

ii

List of Figures
1.1 2.1 2.2 4.1 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 6.1 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 Gauss–Jordan algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reflection in a line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Projection on a line . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
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