ALGEBRA MAT DET

La inversa de una matriz
1.1 ¿ QUE ES LA INVERSA DE UNA MATRIZ Y PARA QUE SIRVE?
Sean A y B dos matrices n X n. Suponga que
AB= BA =I
Entonces B se llama la inversa de A y se denota por A-1. Entonces se tiene


Una matriz cuadrada que no es invertible se le denomina singular y una matriz invertible se llama no singular.
A partir de esta definición se deduce inmediatamente que (A-1)-1= A siA es invertible.
Esta definición no establece que toda la matriz cuadrada tiene inversa. De hecho existen muchas matrices cuadradas que no tienen inversa.
Si una matriz A es invertible, entonces su inversa es única.
Suponga que B y C son dos inversas de A. Se puede demostrar que B= C. por definición se tiene AB= BA y AC=CA=I. B(AC)=(BA)C por ley asociativa de la multiplicación de matrices.Entonces:
B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C
Entonces B=C y el teorema queda demostrado.
Para resolver muchos problemas matemáticos es necesario plantear un sistema ya sea de ecuaciones o bien en este caso de matrices Existen diversos métodos para resolverlos. Pero, si dichos sistemas están formados por gran cantidad de ecuaciones e incógnitas, el aplicar los métodos encontraremos la incognita que es de sumaimportancia para la resolución.

1.1 PROCEDIMIENTO PARA ENCONTRAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ.

Paso1) Se escribe la matriz aumentada (A|I).
Paso2) Se utiliza la reducción por renglones para poner la matriz A a su forma escalonada reducida por renglones.
Paso3) Se decide si A es invertible.
a) Si la forma escalonada reducida por renglones de A es la matriz identidad I, entonces A-1 es la matriz que setiene a la derecha de la barra vertical.
b) Si la reducción de A conduce a un renglón de ceros a la izquierda de la barra vertical, entonces A no es invertible.

1.2
EJEMPLO:
Sea A= 2 4 6
4 5 6
3 1 -2

Primero se pone A seguido de I en la forma de matriz aumentada:
2 4 6 1 0 0
4 5 6 0 1 0
3 1 -2 0 0 1

Ydespués se lleva a cabo la reducción por renglones.

R1—1/2R1 1 2 3 ½ 0 0 R2—R1-4R1 1 2 3 ½ 0 0
4 5 6 0 1 0 R3—R3-3R1 0 -3 -6 -2 1 0
3 1 -2 0 0 1 0 -5 -11 -3/2 0 1

R2 -- -1/3 R2 1 2 3 ½ 0 0 R1—R2-2R2 1 0 -1 -5/6 3/2 0
0 1 2 3/2 -1/3 0 R3—R3+5R2 0 1 2 2/3 -1/3 0
0 -5 -11 -3/2 0 1 0 0 -1 11/6 -5/6 1

R2-- -R3 1 0 -1 -5/6 2/3 0 R1—R1 + R3 1 0 0 -8/3 7/3 -10 1 2 2/3 -1/3 0 0 1 2 13/3 -11/3 2
0 0 1 -11/6 5/3 -1 0 0 1 -11/6 5/3 -1

Como A se redujo a I se tiene:
A-1= 1/6 8/3 7/3 -1 -16 14 -6
13/3 -11/3 2 =1/626 -22 12
-11/6 5/3 -1 -11 10 -6
VERIFICACION:
A-1A=1/6 -16 14 -6 2 4 6 6 0 0
26 -22 12 4 5 6 =1/6 0 6 0 =I
-11 10 -6 3 1 -20 0 6
























2. ¿QUE SON LAS DETERMINANTES DE UNA MATRIZ Y PARA QUE SIRVEN ‘?
El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por  (las barras no significan valor absoluto).
El...