algebra

CURSO CERO.
Departamento de Matem´ticas.
a

Profesor: Ra´l Mart´ Mart´
u
ın
ın
Sesiones 18 y 19 de Septiembre

Cap´
ıtulo 1

La demostraci´n matem´tica.
o
a
Demostraci´n por inducci´n
o
o
El razonamiento por inducci´n es una de las t´cnicas que m´s se utilizan para demostrar
o
e
a
propiedades de objetos discretos.
Se trata de demostrar una proposici´n P del tipo ∀ n ∈ Nse verifica P (n), siendo P (n) una
o
propiedad que se refiere al n´mero natural n.
u

1.1.

Procedimiento de inducci´n
o

o
1. Se comprueba que P (1) (para el primer caso posible) es verdadera, es decir la proposici´n
se verifica cuando n = 1.
2. Se demuestra que si P (h) es cierta entonces P (h + 1) tambi´n es cierta, es decir, que si
e
se verifica la proposici´n para el caso h, aesto es lo que llamamos hip´tesis de inducci´n
o
o
o
(H.I.) tambi´n se verifica para el siguiente (h + 1), tesis de inducci´n (T.I.).
e
o
En estas circunstancias se verifica que ∀ n ∈ N P (n) es verdadera.
Ejemplo 1.1. Determinar para que valores de n ∈ N es verdadera la desigualdad
2n > n2 + 4n + 5
En primer lugar buscamos el primer o primeros valores para los que se verifica la desigualdad.Observamos que para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 la desigualdad es incorrecta, pero es verdadera para n = 7.
Por lo tanto trataremos de demostrar que la desigualdad es verdadera para n ≥ 7.
Paso 1. Si n = 7,
27 = 128 > 72 + 4 · 7 + 5 = 82
Para n = 7 es correcta
Paso 2. (H.I.) Suponemos que para n = h la desigualdad es correcta
2h > h2 + 4h + 5

Paso 3. (T.I.) A partir de H.I. tenemos quedemostrar que
2h+1 > (h + 1)2 + 4(h + 1) + 5.
Usando la hip´tesis de inducci´n
o
o
2h+1 = 2h 2 >H.I. (h2 + 4h + 5)2 = 2h2 + 8h + 10 = (h + 1)2 + 4(h + 1) + 5 + h2 + 2h
Como h2 + 2h > 0 para todo h ≥ 7 por tanto 2h+1 > (h + 1)2 + 4(h + 1) + 5.
Ejercicio 1.2. Demostrar por inducci´n las siguientes f´rmulas:
o
o
1. 1 + 2 + 3 + . . . + n =

n(n+1)
.
2

2. 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 .3. 12 + 22 + 32 + . . . + n2 =

n(n+1)(2n+1)
.
6

4. 13 + 23 + 33 + . . . + n3 = (1 + 2 + 3 + . . . + n)2 .
u
Ejercicio 1.3. Determinar los n´meros naturales para los cuales
1 · 2 · 3 · . . . · n > 2n .
Ejercicio 1.4. Comprobar que si
a1 = 4
a2 = 10
an = 4an−1 − 3an−2
entonces an = 3n + 1 para n ≥ 3.

4

Cap´
ıtulo 2

Las Matrices
2.1.

Introducci´n a las Matrices:Definici´n, operaciones y propiedades.
o
o

Definici´n 2.1. Se llama matriz de dimensiones n × m sobre el cuerpo de los n´meros reales
o
u
a toda aplicaci´n
o
I × J −→ R
(i, j) −→ a(i, j) = aij
siendo I = {1, . . . , n} el conjunto formado por los sub´
ındices de fila y J = {1, . . . , m} el conjunto
formado por los sub´
ındices de columna.


a11 a12 . . . a1m


 a21 a21 . . . a2m 
.
A=
.
. 
..
.
. 
.
.
.
. 
 .
an1 an2

2.1.1.

. . . anm

Clasificaci´n de matrices
o

u
Definici´n 2.2. Se llama matriz cuadrada a aquella matriz que tiene el mismo n´mero de filas
o
que de columnas (n=m).
Al n´mero com´n de filas y de columnas se le llama dimensi´n de la matriz cuadrada.
u
u
o
Definici´n 2.3. Se llama matriz fila a toda matriz de dimensiones 1 × m.o
Definici´n 2.4. Se llama matriz columna a toda matriz de dimensiones n × 1.
o
Definici´n 2.5. Se llama matriz nula a aquella que tiene todos sus elementos nulos.
o
Definici´n 2.6. Se llama matriz diagonal a toda matriz cuadrada en la cual todos los elementos
o
son nulos salvo los de la diagonal principal.
Definici´n 2.7. Se llama matriz triangular a toda matriz cuadrada en la que son nulostodos
o
los elementos que est´n por encima (o por debajo) de la diagonal superior (matriz triangular
a
superior o inferior, respectivamente).

Definici´n 2.8. Se llama matriz unidad de orden n a una matriz cuadrada de dicha dimensi´n
o
o
que es diagonal y todos los elementos de la diagonal son 1.
Definici´n 2.9. Se llama matriz traspuesta (At , A ) de una dada A, a la que se obtiene...