algebra

Cap´
ıtulo 3

Espacios vectoriales y aplicaciones
lineales
3.1

Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales

Definici´n 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operaci´n interna “ + ” que llamaremos suma, y sea K un
o
o
cuerpo conmutativo que define sobre V una operaci´n externa “ · ”, que llamaremos producto por escalares.
o
α · a ∈ V, α ∈ K y a ∈ V
Diremos que (V, +, ·K) es un espaciovectorial sobre K, respecto de las operaciones suma y producto
por escalares si se verifican las siguientes condiciones:
1. (V, +) es un grupo conmutativo.
2. El producto por escalares cumple las siguientes propiedades:
2.1 1 · a = a

∀a ∈V

2.2 α · (β · a) = (αβ) · a

∀ α, β ∈ K, ∀ a ∈ V

2.3 α · (a + b) = (α · a) + (α · b)

∀ α ∈ K, ∀ a, b ∈ V

2.4 (α + β) · a = (α · a) + (β · a)∀ α, β ∈ K, ∀ a ∈ V

Los elementos de V se denominan vectores y los de K escalares.
Aunque son operaciones distintas la suma de vectores y la de escalares, por comodidad se representan por
el mismo signo. Igualmente omitimos el (.) del producto interno en K. Cuando K ≡ R, el espacio vectorial se
llama real.
Propiedades.1. ∀a ∈ V : 0 · a = 0.
2. ∀α ∈ K : α · 0 = 0.
3. ∀a ∈ V, ∀α ∈ K :−(α · a) = (−α) · a = α · (−a).
4. ∀a ∈ V, ∀α ∈ K : α · a = 0 ⇒ α = 0 ´ a = 0.
o
25

CAP´
ITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES

26

Definici´n 3.2 (Subespacio vectorial) Sea (V, +, ·K) un espacio vectorial y F una parte no vac´ de V , se
o
ıa
dice que F es subespacio vectorial de V , si las restricciones a F de las dos operaciones de V , dotan a F de
una estructura deespacio vectorial, es decir si:
1. (F, +) es subgrupo de (V, +)

∀ a, b ∈ F ⇒ a − b ∈ F

2. ∀α ∈ K, ∀a ∈ F ⇒ α · a ∈ F
Teorema 3.1 (Caracterizaci´n de subespacios vectoriales) Sea (V, +, ·K) un espacio vectorial y sea F
o
una parte no vac´ de V . F es subespacio vectorial de V si y s´lo si:
ıa
o
∀α, β ∈ K, ∀a, b ∈ F ⇒ α · a + β · b ∈ F
Obs´rvese que:
e
• El vector nulo 0 pertenece atodos los subespacios de un espacio V .
• Un espacio vectorial V tiene como subespacios, entre otros posibles, al conjunto {0}, formado s´lo por el
o
vector nulo, que se llamar´ subespacio nulo. El mismo espacio V es un subespacio de s´ mismo. Los
a
ı
dem´s subespacios de V , distintos de V y {0}, se llaman subespacios propios.
a

3.1.1

Intersecci´n y suma de subespacios
o

Definici´n3.3 (Intersecci´n de subespacios vectoriales) Sea (V, +, ·K) un espacio vectorial. Se define
o
o
la intersecci´n (∩) de dos subespacios vectoriales U y W de V, como el subconjunto de V que verifica:
o
a ∈ U ∩ W ⇐⇒ a ∈ U ∧ a ∈ W
Teorema 3.2 La intersecci´n de un n´mero cualquiera de subespacios vectoriales de un espacio vectorial V es,
o
u
a su vez, un subespacio vectorial de V.
La uni´n desubespacios de un espacio vectorial V , en general no es un subespacio de V .
o
Definici´n 3.4 (Suma de subespacios) Sea (V, +, ·K) y sean U1 y U2 dos subespacios de V. Se llama
o
suma de U1 y U2 al conjunto, que se denota U1 + U2 :
U1 + U2 = {u1 + u2 / u1 ∈ U1 , u2 ∈ U2 }
a
Teorema 3.3 El conjunto U1 + U2 es un subespacio de V; es m´s, se trata del menor de todos los subespacios
quecontienen a U1 y U2 .
Definici´n 3.5 (Suma directa) Sean U1 y U2 subespacios de un espacio vectorial (V, +, ·K)y sea L ⊆ V ,
o
U1 + U2 es suma directa de L, lo que se denota poniendo U1 ⊕ U2 = L, si se verifica que U1 + U2 = L y
U1 ∩ U2 = {0}
Si L = V a los subespacios U1 , U2 se les denominan subespacios suplementarios.

3.2. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

3.2
3.2.1

27

Dependencia eindependencia lineal
Combinaci´n lineal. Subespacio generado por un conjunto de vectores
o

Definici´n 3.6 (Combinaci´n lineal) Sea (V, +, ·K) un espacio vectorial. Se llama combinaci´n lineal de
o
o
o
los vectores v1 , v2 , ..., vp ∈ V a todo vector x de V de la forma:
x = λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λp vp ,

con λ1 , λ2 , ..., λp ∈ K.

Definici´n 3.7 (Subespacio vectorial generado por...