Algebra

Gu´ de ALGEBRA II: Matriz asociada, autovalores y diagonalizaci´n:
ıa
o
Profesores:


Segundo Semestre 2009

1. Sea T : R3 → R2 con T (x, y, z) = (x+y, y+z) y considere las bases E = {(1,0, 0)(1, 1, 0)(1, 1, 1)}
de R3 y F = {(1, 1)(1, 0)} de R2 . Encuentre [T ]F
E
2. Sea TA : R2 → R2 con TA (x, y) = (x, y)A y considere las bases E y F de R2 , donde
E = {(1, 1)(1, 2)} y F = {(1,0)(−1, 1)
a) Pruebe que TA es una transformaci´n lineal, con:
o
1 0
2 1

A=
b) Encuentre [TA ]F
E

3. Considere las bases E = {(1, −1, 0)(0, 1, −1)(0, 1, 0)} de R3 y F = {(1, −1)(0, 1)} de
R2y sea T : R3 → R2 una transformaci´n lineal que cumple con:
o
T (1, 2, −1) = (2, 1);

T (1, 0, −2) = (1, −1) y

T (1, 1, 0) = (0, 1)

Encuentre [T ]F
E
4. Considere las bases de H = {(1,3)(1, 0)} y G = {(−2, 1)(1, 1)} de R2 y sean
T : R2 → R2

y

S : R2 → R2

T (x, y) = (x, 2x + y)

y

S(x, y) = (x − y, 2y)

definidas como:

a) Pruebe que T y S son transformacioneslineales
b) Encuentre [2T + S]H
H
c) Encuentre [S 3 ]G
H
d ) Encuentre [T −1 ]G
G
e) Encuentre [2S 2 − 3T −1 ]H
G
f ) Encuentre [S ◦ T ]H ;
G

[T ◦ S]H
H

y

[3T ◦ S −1 ]G
H

ALGEBRA II:Gu´ de: matriz asociada, autovalores y diagonalizaci´n
ıa
1
o

1
5. Considere las bases E = {( 2 , 1 , 0)(1, 0, 1)(1, 0, 0), } y F = {2} de R3 y R respectiva4
mente y Sea T : R3 → R definidapor T (x, y, z) = 2x − 3y + z. Pruebe que T es una
transformaci´n lineal y encuentre [T ]F
o
E

6. Sea T : P2 → P3 la transformaci´n lineal definida por:
o
T (a + bx + cx2 ) = (a + bx + cx2 ) +(a + b + c)x3
y considere las bases E y F de P2 y P3 respectivamente, donde
E = {1, x, x2 }

F = {1, x, x2 , x3 }

y

Encuentre [T ]F
E
7. Considere las bases de R3 , E = {(1, 1, 1)(1, 1,0)(1, 0, 0)} y F = {(1, 0, 0)(0, 1, 0)(0, 0, 1)}
y sea T : R3 → R3 la transformaci´n lineal tal que:
o


2 1 3
[T ]F =  0 1 1 
E
1 2 2
Determine la transformaci´n lineal T (x, y, z)
o
8....