Algebra

Introducción
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales yen el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas delas matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Definición de transformación lineal y sus propiedades
Definición.   Sean  V  y  W  espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal  de
V en w, es una funcion
[pic]
[pic]
 Tal que:[pic]
[pic]
[pic]

   ii)  [pic]
[pic]
, [pic]
[pic]
, [pic]
[pic]

En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
• T (u+v) = T (u) +T (v)
• T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.
Definición del núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal
Kernel o núcleo
Definición 94 sea:
[pic]
Una transformación lineal. Se define el kernel o nucleo de la transformación lineal T denotado por ker T, al conjunto de las pre- imágenes del vector nulo, es decir:

[pic]
Ejemplo Hallar el conjunto de las preimágenes del vectornulo para la transformación lineal
[pic]
Solución: Necesitamos determinar los vectores [pic]
de [pic]
tales que
[pic]
Evaluando [pic]
[pic]
Es decir,
[pic]
Luego, utilizando la matriz asociada al sistema, obtenemos
[pic]
por lo tanto,
[pic]
con lo cual,
(x;y;z) = (0;-(1/3)z;z) = z(0;-(1/3);1) Así el conjunto de las preimágenes del vector nulo es el sub espacio
[pic]
Note que elresolver un sistema de ecuaciones lineales equivale a encontrar las pre imágenes de un vector para una transformación lineal dada.
Ejemplo Determinar el kernel de la siguiente transformación lineal
[pic]
Solución: Como tenemos que
[pic]

1.4 La matriz de una transformación lineal y representación matricial de una transformación lineal
Representación matricial de una transformación lineal.
SeaT : V !"! W una T.L con dimV = n, dimW = m si {e1,...,en} es una base de V y {w1,...,wm} es una base de W, cada elemento t(ek) puede expresarse con unicidad, como una combinación lineal de los elementos de la base es decir T(ek) =m"i=1tikwi donde tik ,...,t mk son los componentes de t(ek) respecto a la base ordenada {w1,...,wm}.
• Los tik forman un vector columna o matriz columna. Tenemos unacolumna para cada uno de los n-elementos t(e1),..., t(en), formando así una matriz de orden m × n.
Así toda T.L de un espacio n-dimensional V, en un espacio m dimensional W da origen a una matriz m × n t(eik), cuyas columnas son los componentes de t(ei),...,t(en), relativos a la base (w1,...,wn), la llamamos representación matricial de T relativa a unas bases ordenadas {e1,...,en}, de V y{w1,...,wm}, para w.
Teorema
Dada una transformación lineal T: V ! V donde dimV = n. Si T tienen una representación en matriz diagonal, existe entonces un conjunto de elementos independientes u1,...,u2 en V y un conjunto correspondiente de escalares 1,...n que satisfacen: T(uK) = kuk para k=1, 2,...,n. Recíprocamente, si existe un conjunto independiente u1,...,un en V y un conjunto correspondiente...