algebra

Los números enteros y su ordenación. El principio de inducción matemática.
Los números enteros
Los números enteros se definen como el conjunto de los números Z={...,-2,-1,0,1,2,3,...}. Dentro de este conjunto está el subconjunto de los números naturales,N={1,2,3,4,...}. Es decir, el subconjunto de los números enteros positivos (mayores que 0).
Pueden definirse en Z dos operaciones internasbinarias + , . : Z x Z ⇒ Z, a las que llamamos suma y producto, respectivamente. Estas operaciones cumplen las siguientes propiedades:
i. Cerradas: a+b ∈ Z y a.b ∈ Z, ∀a,b ∈Z
ii. Conmutativas: a+b = b+a , a.b = b.a , ∀ a,b ∈ Z
iii. Asociativas: a+(b+c) = (a+b)+c , a.(b.c) = (a.b).c , ∀ a,b ∈ Z
iv. Existencia de elementos neutros: a+0 = a , a.1 = a , ∀ a ∈ Z
v. Existencia de elemento opuesto parala suma: ∀a ∈Z existe -a ∈ Z tal que a + (-a) = 0
vi. Cancelativa: Si a es distinto de 0, y a.b = a.c entonces b = c
vii. Distributiva: a.(b+c) = a.b + a.c ∀ a,b,c ∈ Z
La ordenación de los números enteros
En Z se puede definir una relación de orden total, con el orden usual 0.

Luego, x2 >0  x2 = 0, o sea, x2 0.

Por tanto, si x es un número real, entonces x2 

Manejo de laEquivalencia.Para probar que una equivalencia, P  Q, es teorema, se puede usar el siguiente procedimiento:
• Probar independientemente cada una de las implicaciones, P  Q y Q P, y mediante la conjunción obtener la equivalencia.
• Ejemplo: Demuestre que P (Q R) (P Q) R.
Solución.
1. P  (Q  R) hipótesis auxiliar.
2. P simplificación en 1.
3. Q  R simplificación en 1.
4. Qsimplificaicón en 3.
5. R simplificación en 3.
6. P  Q conjunción 2 y 4.
7. (P  Q)  R conjunción 6 y 5.
8. P  (Q  R)  ( P  Q)  R método directo 1 y 7.
Ahora, se establece la otra implicación
1. (P  Q)  R hipótesis auxiliar.
2. P  Q simplificación en 1.
3. R simplificación en 1.
4. P simplificación 2.
5. Q simplificación en 2.
6. Q  R conjunción de 5 y 3.
7. P  (Q  R) conjunciónde 4 y 6.
8. (P  Q)  R  P  (Q  R) método directo 1 y 7.

De las dos demostraciones anteriores, se concluye que:
P  (Q  R)  (P  Q)  R

Ejercicios 1.4
1. Simbolizar los siguientes enunciados:
• No hace frio pero llueve.
• O se protege la flora y la fauna, o se quebrará el equilibrio ecológico.
• La deserción escolar disminuirá si y sólo sí se mejoran las condicones de lapoblación y se moderniza la educación.

2. Para cada enunciado escriba su recíproco, contrarrecíproco y contrario.
• si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto.
• Si una figura plana es un cuadrado, entonces es un rectángulo.
• si una matriz cuadrada tiene inversa, entonces su determinante es distinto de cero.

3. Demuestre que los siguientes enunciados sonteoremas:
• ((P  Q)  ((R  Q))  ((P  R)  Q).
• ((P  Q)  (P  R))  (P  (Q  R)).

4. justifique cada regla de prueba:
• Si P Q es verdadera, entonces, R  P  Q es verdadera.
• Si P  Q  R es verdadera, entonces, Q  R es verdadera.
• Si Q  Q es verdadera, entonces, P es verdadera.
• Si P  Q y  P son verdaderas, entonces, Q es verdadera.

5. demuestre los suguientesteoremas:
• (P  (Q  R)  ((P   vQ)  R).
• (P  Q)  ((Q  R)  (P  R)).
• P  (Q  P  Q).
• (P  (Q  R))  ((P  Q)  R)
• ((P Q)  (P  R)) (P  (Q  R)).
6. En cada numeral se dá una lista de premisas, escriba los pasos, que conducen a la conclusión, justificando cada uno de ellos.
T  S P  Q  R
F  TS  R
S  F  T T   S  (P  Q)

(P  Q)  R P  (Q  R)
(R  S) P S  T
S (P  Q)...