algebra

ÁLGEBRA
Licda. Alejandra María Rivera
Maradiaga

NÚMEROS REALES
Y SUS
PROPIEDADES

Introducción
• El álgebra, como la aritmética, se basa en números con los que se
realizan operaciones tales como: adición, multiplicación,
sustracción y división. Mientras que la aritmética estudia las
operaciones de números específicos como: 2 + 5, 8 × 9, 43 −
18 𝑦 36 ÷ 4, el álgebra se centra enoperaciones con números sin
especificar o desconocidos, que se designan con símbolos o letras
como 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑎, 𝑏 𝑜 𝑐. Por tanto las expresiones algebraicas son de
tipo: x + 𝑦, 𝑎. 𝑏, 𝑦 − 𝑧 𝑦 𝑏 ÷ 𝑐.
• El término “álgebra” proviene del árabe al-jabr, que aparece en la
expresión ilm al-jabr w’almuabalah (que significa “la ciencia de la
reducción y cancelación), título de una obra de los primerosaños
del siglo XIX.

Introducción
• Todo objeto específico debe ser parte de un conjunto o ajeno a él.
Para describir un conjunto con palabras o símbolos se le enmarca
entre llaves
.
• La descripción de un conjunto se puede realizar mediante la
notación constructiva de conjuntos, en el cual se expresa el criterio
para saber si un objeto pertenece al conjunto.
• El símbolo x se ledenomina variable pues sirve para representar
cualquier elemento del conjunto dado. Al conjunto especificado se
le llama dominio de la variable.

Sub-conjuntos de los números reales

Ejercicios de repaso sobre los
números reales
• Utilice la notación de conjuntos para expresar el conjunto dado:
•
•
•
•
•

El conjunto de los enteros impares
El conjunto de los números pares primos
Elconjunto de todas las x para las que x está entre -2 y 2.
El conjunto de todas las t para las que 4t-1 no es negativo.
El conjunto de todas las y para las que y+3 es positivo y menor o igual a
15
• El conjunto de todas las z para las que 2z se mayor o igual a -5 y menor
que -1.
• Exprese en fracción los siguientes números decimales:
• 0.7
• 0.875
• 0.38
• 0. 235

Ejercicios de repasosobre los
números reales
• Encuentre la expresión decimal de cada uno de los números:
•
•
•
•

45%
128%
7.8%
0.00003%

• Exprese como porcentaje cada uno de los decimales:
•
•
•
•

32.05
0.87
0.6412
0.929

Propiedades del sistema de números
reales
Adición y Multiplicación

Ley de clausura

a+b=c y ab=c

Ley asociativa

a+(b+c)=(a+b)+c
y a(bc)=(ab)c

Leyconmutativa

a+b=b+a y ab=ba

Propiedad de
identidad

a+0=a=0+a y
a.1=a=1.a

Propiedad del
inverso

a+(-a)=0=(-a)+a y
a.1/a=1=1/a.a

Propiedad
distributiva

a(b+c)=ab+ac y
(a+b)c=ac+bc

Ejemplos
• Formule una propiedad algebraica básica del sistema de
números reales para justificar cada uno de los
siguientes enunciados:
• 3+5 +2=3+ 5+2
• 6+8 𝑦 = 𝑦 6+8
• 8 + 3 𝑦 + 2 = 8𝑦 + 3𝑦 +2
• 𝑥+ 𝑦 1= 𝑥+ 𝑦
• 𝑥+2 + − 𝑥+2 =0
• 𝑦 + 𝑧 1/ 𝑦 + 𝑧 = 1, 𝑠𝑖 𝑦 + 𝑧 ≠ 0

Propiedades adicionales
Si a+c=b+c, entonces a=b
Ley cancelativa o
anulativa
Si ac=bc y c≠0, entonces
a=b
Propiedades derivadas de
las propiedades básicas
a.0=0.a=0
Ley de la multiplicación
por cero
Si a.b=0, entonces a=0 ó
b=0 (o ambas)

Lista de propiedades importantes de la
sustracción relacionadas connegativos y
fraccionarios
-(ab)=(-a)(b)=(a)(-b)

-(-a)=a

Propiedades
de la
sustracción
y negativos

-a=(-1)a

(-a)(-b)=ab

𝑎
𝑏

Para todas las fracciones y
𝑑≠0

𝑐
,
𝑑

donde 𝑏 ≠ 0 y

Fracciones equivalentes
𝑎
𝑐
= , 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐
𝑏
𝑑

Adición y sustracción con distinto
denominador
𝑎 𝑐
𝑎𝑑 ± 𝑏𝑐
± ,=
𝑏
𝑑
𝑏𝑑

Regla de los signos
𝑎 −𝑎
𝑎
− =
=
𝑏
𝑏−𝑏
Cancelativa
𝑎𝑐
𝑎
= , 𝑐≠0
𝑏𝑐
𝑏

Multiplicación

Adición y sustracción con común
denominador
𝑎 𝑐
𝑎± 𝑐
± ,=
𝑏 𝑏
𝑏

División de cero y división por cero
0
0÷ 𝑏 = , 𝑏 ≠0
𝑏
0
0 ÷ 0 = 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
0
𝑎
𝑎÷0=
𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜, 𝑎 ≠ 0
0

𝑎 𝑐
𝑎𝑐
. =
𝑏 𝑑
𝑏𝑑

División
𝑎
𝑐
𝑎/𝑏
𝑎 𝑑
𝑎𝑑
÷ =
= . =
𝑏
𝑑
𝑐/𝑑
𝑏 𝑐
𝑏𝑐

Ejemplos
• Evalúe cada una de las siguientes...