Algebra

INTRODUCCION.
En esta presentación del tema transformaciones lineales conoceremos cada una de sus propiedades, teoremas y algunos ejercicios. Pero antes de entrar mas a detalle tenemos que saber en qué consiste una transformación lineal.
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En muchas ocasiones realizar vectoreses sencillo ya que pueden ser fáciles de interpretarlos dentro de un contexto gráfico, pero en ocasiones no siempre es fácil interpretarlos y es por eso que debemos transformar los vectores para poder trabajar con ellos más fácilmente.
Es importante saber que trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo si trabajamos con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnicallamada superposición, la cual esta nos simplifica cálculos.
Para poder entender transformaciones lineales tenemos que conocer lo que es el nucleo e imagen de una transformación donde nucleo es un subconjunto formado por todos los vectores en V que sean cero en W. Y donde la imagen se define como el conjunto de todos los valores.
La presente investigación tiene como finalidad identificar y comparar,bajo el marco teóricos del tema transformaciones lineales y de los ejemplos , procedimientos y teorías que se presentan.
El objetivo de este trabajo es explicar las partes esenciales de Algebra Lineal con el tema Ecuaciones Lineales de una manera clara, comprensiva y precisa. Consta de 4 subtemas que son:
Introducción a la transformación lineal.
Núcleo e imagen de una transformación lineal.
Lamatriz de una transformación lineal.
Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación-.


INTRODUCCION A LA TRANSFORMACION LINEAL.
Cuando un elemento de un espacio vectorial V se trabaja para convertirlo en un elemento de otro espacio vectorial W, el proceso se conoce como transformación, aplicación o función vectorial.


Ejemplo detransformaciones lineales.
T: R2 R2 T (x,y) = ( x + y,x)
T: R3 R2 T ( x,y,z) = ( x, 0, x + y + z )
Sea T: V W una transformación.
Se llama recorrido de T al conjunto:

Se llama núcleo de T al conjunto:

Si una transformación conserva las operaciones fundamentales en el espacio vectorial, es decir suma de vectores y multiplicación por unescalar entonces a esta transformación se le conoce como transformación lineal y cumplen con dos axiomas importantes



Donde T:V W y el campo K de definición, es el mismo en ambos espacios vectoriales.
Ejemplo.
Se ha la transformación F: R2 M2 F (x,y) = ( x y ) donde el espacio M2 esta conformado por matrices simétricas de -y xOrden dos con elementos reales. Para que F sea lineal, debe satisfacer la superposición y homogeneidad.
SUPERPOSICION.
F ((x, y) + (a,b)) = F (x,y) + F (a,b)
F (x+a,y+b) = x y a b
+
y -x b -a

x + ay + b x +a y + b
y + b -x - a y + b -x - a


HOMOGENEIDAD.
F (a(x,y)) = aF(x,y)
F(ax,ay) = a x y

y -x

ax ay ax ay

ay -ax ay -ax


Concepto delinealidad de una transformación:
Sea V y W dos espacios vectoriales sobre un campo K una transformación T:V  W es lineal si para todo se cumple.

Ejemplos. Determinar cuáles de las siguientes transformaciones son lineales.




Teorema.
Sea T: V  W es una transformación lineal entonces

Teorema.
Si T:V  W es una transformación lineal, entonces:
T (V) es un subespacio de W....