algebra

ÁLGEBRA
Apuntes de  la Cátedra 

Números 
Complejos 
Introducción. Complejos como para ordenado. Representación de los
Complejos.. Forma binómica. Suma y producto en forma binómica.
Propiedades. Potencias de la unidad imaginaria. Módulo de un
complejo. Complejos conjugados. Divisíon. Potenciación con
exponente natural. Raiz cuadrada en forma binómica. Forma Polar /
Trigonométrica.Igualdad de complejos en forma Polar. Operaciones:
producto, cociente , potenciación con exponente Natural y radicación
con índice Natural.

 

Año 
2014 
Rodolfo Iturraspe 
Prof. Asociado 

Instituto de Desarrollo Económico e Innovacion
Universidad Nacional de Tierra del Fuego. Ushuaia, Argentina 

NUMEROS COMPLEJOS

Introducción
El conjunto de los números Reales presentarestricciones para la resolución de algunos
problemas. El caso más frecuente es la falta de solución para ciertas ecuaciones sencillas:
El caso x2 - 4 = 0 se resuelve como x2 = 4 con dos soluciones reales: x = 2 y x = -2
El caso x2 + 4 = 0 presenta el problema x2= √-4 sin solución en R ( no hay número
real que elevado al cuadrado dé un número negativo.
La idea de los números complejos se desarrolla apartir de plantear la ecuación anterior
en la forma: x2= 4 (-1) con dos soluciones para x :
.

x=
x=

+ √ 4 (-1) = √4 √-1 = 2√-1
- √ 4 (-1) = -√4 √-1 = -2√-1

donde √-1 es una entidad imaginaria que nos permite expresar una solución al problema, fuera
del contexto de los R.
Si llamamos i = √-1 es posible escribir en forma más sencilla lo anterior:
x= 2i

y x= -2i son las soluciones dela ecuación

Diremos que i es la unidad imaginaria y que x= 2i es un número imaginario puro. Todo
imaginario puro es un múltiplo de i. Sin embargo los complejos van más allá de los números
imaginarios puros, ya que se trata de una expansión del conjunto de los Reales.
C⊂R
En función de esto, un número complejo tiene dos componentes, una Real y otra
imaginaria pura.

Representación de losComplejos
La representación de los complejos no es sobre una recta como sucede con los Reales
sino sobre un plano. En el eje horizontal se representa la parte real y en el vertical la parte
imaginaria.

y eje imaginario
b

•

z= (a, b)

z = (a, b) es la expresión de z
como par ordenado.

a

x eje real

Todos los números complejos están representados en este plano quedenominamos
plano complejo. Cada complejo es un par ordenado, cuya representación puede
materializarse como un punto del plano o bien como un vector con su origen en el origen de
coordenadas y extremo en el par ordenado.
eje imaginario
2

_

1

•

Representación de la
unidad imaginaria i
i= (0, 1)

eje real

Módulo de un complejo
Es la distancia de z al origen de coordenadas
del planocomplejo. Dicho de otra forma, es la
medida o módulo del vector que representa al
complejo.
.
.
2
2
z = (a, b) ⇒ | z | = √ a + b
(por Pitágoras)
Tener en cuenta que | z | no puede ser negativo.

La suma en C
Para sumar dos complejos se suman las componentes homólogas:
(a , b) + (c, d) = (a + c, b+d)

Producto de un real por un complejo:
k ( a, b) = (ka, kb)

•

z = (a, b)

√a2 + b2
b

a

Forma binómica
Es la expresión más usual de un número complejo.
z= (a , b) puede expresarse como suma de un número real puro más un imaginario puro:
z= (a, 0) + (0, b) = a + (0, b)
y además:
a + bi
forma binómica de z
z= a + b(0, 1) =
La forma binómica muestra en forma clara que um número complejo es la suma de um
número real más un imaginario puro (sin perjuicio deque alguno de ellos sea nulo)
La suma en la forma binómica: (a + bi ) + (c + di) = [(a+c) + (b+d)i]

Propiedades de la suma en C
1.
2.
3.
4.
5.

Ley de composición interna: la suma de dos complejos es siempre otro complejo
Asociatividad: z1 +( z2 + z3) = (z1 + z2) + z3
Existencia de neutro = 0 tal que z + 0 = z = 0 + z
Existencia de inverso aditivo: ∀ z= a+bi ∈ Z ∃ -z = a-bi ∈ Z / z +...