ALGEBRA

TEMA 1 COMPLEJOS
1) Hallar los lugares geométricos que describen los afijos de los complejos que cumplen
las condiciones:
3 z = z
1 z = ‖z‖
2 z = z
z
4 z 2 = z 2

6 z + z = ‖z‖ 2

5 z − z = i

2) Representar los conjuntos de puntos que expresan las siguientes condiciones:
1 ‖z‖ < 1

2 z + z = 1

3 ‖z − i‖ = ‖z + i‖

4 ‖z‖ ≤ ‖2z + 1‖

5 Rez ≥ 1
2

6 ‖z + 1‖< ‖z − 1‖

3) Se sabe que

2 − 1 + xi
es real. ¿De qué número se trata?.
1 − xi

4) Hallar un número complejo que sumado con su recíproco de la unidad.
5) Expresar en forma binómica y polar, los números:
1) 1 + i 2
4) i 7 + i 13

2) 1 + i + i 2 + i 3
5) 1 1 + i1 + i −8 
2

7) 3cos 60 ∘ + isen60 ∘  ⋅ 4cos 120 ∘ + isen120 ∘ 

1
1+i
30
9
6) 3i − i
2i − 1
3)

8)1+ 3i
1− 3i

12

6) Sea z ∈ ℂ con ‖z‖ = 1. Calcular: ‖1 + z‖ 2 + ‖1 − z‖ 2 .
7) Demostrar que si ‖z‖ = 1 , el numero complejo 1 + z es imaginario puro.
1−z
8) Hallar los números complejos cuyo cubo sea igual al cuadrado de su conjugado.
9) Calcular:
63

1) ∑ i
n=1

100

n

2)

∑ in

3) ( 3 + i) n +  3 − i n

n=0

10) Hallar el lugar geométrico de los afijos de loscomplejos z tales que:

z−3
z−5

= 1.

11) Obtener y representar las soluciones de: z 3 + 8i = 0 z ∈ ℂ.

1

12) Resolver la ecuación: z 2 + 8iz − 19 − 4i = 0 z ∈ ℂ.

13) Calcular:
1

8

4

−2 + 2i

2

1
3 + 4i

5 ln i

6 ln 1 + i
1−i

8 2 i

9 log i −i

7 i i
πi/2
10 1 − e πi/2
1+e

3

3

8 2 −8 2i

i

4

11 i + e 2πi

14)Dados los números complejos z = −1 + i, z 1 = −2 + 3i, hallar z 2 y z 3 tales que los
afijos de z 1 , z 2 y z 3 formen un triángulo equilátero de centro z.
15) Hallar a y b para que 2b + 3ai sea imaginario puro y de módulo 1.
3 + 4i
16) Dados los números complejos z = 2 + i, z 1 = 3 − i, determinar 3 complejos z 2 , z 3 y
z 4 tales que los afijos de z 1 , z 2 , z 3 y z 4 formen un cuadrado decentro el afijo de z.
17) Sean z 1 y z 2 dos números complejos z 1 ≠ z 2 tales que: r =
real. Hallar la relación que deben de cumplir z 1 y z 2 .

z 1 + z 2 i
z 1 − z 2 sea un número

18) Hallar los números complejos z tales que los números 1, z, 1 + z 2 esten alineados.
19) Hallar los números complejos z tales que z 6 − 9z 3 + 8 = 0.
20) Hallar la suma y el producto de las raicesn-ésimas de la unidad.
21) a) Calcular sen3α y cos3α en función de las razones trigonométricas de α, donde
α ∈ ℝ.
b) Obtener cos 3 α en una fórmula que no tenga potencias de razones trigonométricas.
22) Calcular:
a) zz 1+⋅ zz 2 +⋅ zz3 ⋅+zz4 siendo z 1 = i, z 2 = −i, z 3 = 1, z 4 = 1 − i
1
2
3
4
b) 1 + i + i 2 + i 3 +. . . +i 43
23) Siendo 1, α y α 2 las raices cúbicas de 1, demostrar
a)1 + α 2  4 = α

b) 1 − α1 − α 2 1 − α 4 1 − α 5  = 9

2

TEMA 2 MATRICES Y DETERMINANTES
1) Demostrar que si AB = A y BA = B  A y B son idempotentes
2) Si A es idempotente, demostrar que B = I − A es idempotente y además
AB = BA = 0.
3) Demostrar que si A y B son simétricas, entonces AB es simétrica si y solo si AB = BA
4) Sea A (una matriz cuadrada) tal que A 2 = A. Si B = 2A− I, demostrar que B es
involutiva.
0 2 −1
5) Si A =

0 0

1

0 0

0

comprobar que A es nilpotente.

6) ¿Se cumple A + B 2 = A 2 + B 2 + 2AB?.
7) Demostrar que si A es simétrica, entonces B t AB es simétrica.

8) Descomponer la matriz A =

4

−2 3

2

0

5

en suma de una simétrica y otra

−1 −3 1
antisimétrica.
9) Hallar todas las matrices cuadradas simétricasde orden 2 tales que A 2 = A.
10) Calcular todas las matrices de orden 2
a) Cuyo cuadrado sea la matriz nula.
b) Que sean idempotentes.
0 0 0
11) Hallar todas las matrices que conmutan con: A =

1 0 0
1 1 0

12) Sean a, b, c, tres números reales tales que verifican: a 2 + b 2 + c 2 = 1. Sea la matriz
A

3

a 2 ab ac
A=

Calcular A n .

ab b 2 bc
ac bc c 2

13) Son...