algebra

1.

Tarea: Leyes de cancelaci´
on
Demostrar que:

1.

Si a ∗ b = a ∗ c entonces b=c

2.

Si c ∗ a = b ∗ a entonces b=c

3.

Las ecuaciones: x ∗ a = b y a ∗ x = b tienen soluci´on u
´nica

3) Si a ∗ b = a ∗ c entonces b=c
´
DEMOSTRACION
Suponemos que a ∗ b = a ∗ c. Entonces:
b = e ∗ b = (a ∗ a−1 ) ∗ b = (a−1 ∗ a) ∗ b = a−1 ∗ (a ∗ b) = a−1 ∗ (a ∗ c) = (a−1 ∗ a) ∗ c = e ∗ c =c

4) Si c ∗ a = b ∗ a entonces b=c
´
DEMOSTRACION
Suponemos que c ∗ a = b ∗ a. Entonces:
c = c ∗ e = c ∗ (a ∗ a−1 ) = (c ∗ a) ∗ a−1 = (b ∗ a) ∗ a−1 = b ∗ (a ∗ a−1 ) = b ∗ e = b

3) Las ecuaciones:
x ∗ a = b, a ∗ x = b
son u
´nicas.
´
DEMOSTRACION
Consideremos la ecuaci´
on x ∗ a = b. Tomemos x := b ∗ a−1 .
Entonces:
(b ∗ a−1 ) ∗ a = b ∗ (a−1 ∗ a) = b ∗ e = b
Luego, x = b ∗ a−1es soluci´
on de la ecuaci´
on x ∗ a = b. Adem´as ´esta es u
´nica, pues si x1 ,x2 existieran, soluciones de la
ecuaci´on x ∗ a = b ⇒ x1 ∗ a = b = x2 ∗ a
Por las leyes de cancelaci´
on, se tiene2a que x1 = x2 .
Por lo tanto, la ecuaci´
on x ∗ a = b tiene soluci´on u
´nica.
Similarmente se tiene la misma afirmaci´
on para la ecuaci´on a ∗ x = b, donde la soluci´on es x = a−1 ∗ b.

12.

Estudio de espacios vectoriales
Definici´
on

Sea K un cuerpo de escalares, y V un conjunto no vac´ıo, con reglas de suma y producto por escalar que asignan a cada
par u, v ∈ V una suma u + v ∈ V y a cada par u ∈ V , k ∈ V un producto ku ∈ V .
V recibe el nombre de espacio vectorial sobre K(y los elementos de V se llaman vectores). Si se satisfacen los siguientes
axiomas:
(A1 ) Paratoda terna de vectores u, v, w ∈ V , (u + v) + w = u + (v + w).
(A2 ) Existe un vector en V, denotado por 0 y denominado vector 0, tal que u + 0 = u para todo vector u ∈ V .
(A3 ) Para todo vector u ∈ V existe un u
´nico vector en V, denotado por -u, talque u + (−u) = 0.
(A4 ) Para todo pard e vectores u, v ∈ V , u + v = v + u.
(M1 ) Para todo escalar k ∈ K y todo par de vectores u, v ∈ V ,k(u + v) = ku + kv.
(M2 ) Para todo par de escalares a, b ∈ K y todo vector v ∈ V , (a + b)u = ua + bu.
(M3 ) Para todo par de escalares a, b ∈ K y todo vector v ∈ V , (ab)u = a(bu).
(M4 ) El escalar unidad 1 ∈ K cumple 1u = u para todo vector u ∈ V .
V es un grupo conmutativo bajo la suma (grupo abeliano).
De ello se deriva que cualquier suma de vectores de la forma:
v1 + v2 + ... + vm
norequiere par´entesis y no depende del orden de los sumandos, que el vector = es u
´nico, que el opuesto -u de u es u
´nico
y que se verifica la ley de cancelaci´
on; esto es, para tres vectores cualesquiera u, v, w ∈ V :
u+w =v+w ⇒u=v
Asimismo, la resta se define seg´
un:
u − v = u + (−v)
Por otra parte, los cuatro axiomas restantes se refieren a la .acci´
on”del cuerpo K sobre V.Obs´ervese que la rotulaci´
on de los axiomas refleja este desdoblamiento. Empleando estos axiomas adicionales probaremos las siguientes propiedades elementales de un espacio vectorial.
Teorema
Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.
1.

Para todo escalar k ∈ K y 0 ∈ V , k0=0.

2.

Para todo 0 ∈ K y todo vector u ∈ V , 0u = 0.

3.

Si ku = 0, donde k ∈ K y u ∈ V , entonces k=0 o u=0.4.

Para todo k ∈ K y todo u ∈ V , (−k)u = k(−u) = −ku.

2

1.5 Ejercicios
22 de marzo de 2003
Alumno: Real Berm´
udez Jes´
us M.
1.

Determine cuales de los siguientes conjuntos es un grupo:
a)

N´
umeros pares con la suma.
Soluci´
on
Si consideramos que = es n´
umero par, entonces; el conjunto de los n´
umeros pares con la suma es un grupo,
adem´
as es un grupoabeliano, puesto que:
1)
2)
3)

b)

Dada la operaci´
on suma en los n´
umero pares es asociativa, para cada a, b, c ∈ P ares.
Existe una u
´nica identidad denotada como 0, tal que ∀a ∈ P ares entonces: a + 0 = a.
Existe un u
´nico inverso, talque ∀ ∈ P ares entonces: a − a = 0.

Las ra´ıces reales y complejas del polinomio xn − 1, con respecto al producto.
Soluci´
on
2kπi

Sus...