algebra

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UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIA
FACULTAD DE INGENIERÍA Y SISTEMAS
ASIGNATURA: MATEMÁTICA II

ÁLGEBRA DE MATRICES
DEFINICIÓN: llamaremos MATRIZ a todo arreglo rectangular de números o funciones encerrados entre
corchetes y que obedece a ciertas leyes de combinación, tal como:

 a11
a
 21
A  aij   a31

 
a m1

Fila

 

Donde:
 ELEMENTOS

a ij




a12a 22
a32

a13
a 23
a33





am2

a m3

 a1n 
Columna

 a2n 
 a3n 

 
 a mn  m n

Orden de
la Matriz

: son los números o funciones que forman la matriz.
: elemento genérico.

i
j

: número de fila.
: número de columna.
TAMAÑO DE LA MATRIZ : se indica por medio del orden de la matriz.

MATRIZ CUADRADA: el número de filas es igual al número decolumnas.

 

A  aij

m n

 

, m  n  A  aij

n

La línea imaginaria que pasa por los elementos:

a11, a22 , a33,  , ann , se llama Diagonal

Principal. La suma de los elementos de la Diagonal Principal es el Trazo de la Matriz.
IGUALDAD DE MATRICES:

dos matrices

 

A  aij

m n

 

,  B  bij

m n

, son iguales si y solo si tienen el

mismoorden y si cada elemento de una es igual al correspondiente elemento de la
otra. Esto es:
ai j = ai j , donde i = 1, 2, 3, ..., m  j = 1, 2, 3, ..., n
OPERACIONES CON MATRICES:
1.

SUMA:

si A = [ai j] y B = [bi j] son matrices de orden mxn, entonces su suma (resta), es la matriz
de orden mxn C = [cij], para la cual cada elemento de C es la suma (diferencia) de los
correspondienteselementos de A y B. Esto es:
ci j = a i j  b i j

Danilo Leiva
dleiva@ufg.edu.sv

UFG

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OBSERVACIONES:
i.

Si dos matrices son del mismo orden se dice que son CONFORMABLES para la
suma (resta).
Para sumar (restar) es necesario que las matrices tengan el mismo orden.

ii.

LEYES DE LA SUMA:
Sean A, B, y C matrices Conformables para la suma y k un escalar, entonces:
i.
ii.iii.

A+B=B+A
A + (B + C) = (A + B) + C
k(A + B) = kA + kB = (A + B)k

si “k” es un escalar, entonces por kA = Ak
se entiende la matriz obtenida de A por
multiplicación de todos sus elementos por k.
Si en particular k = – 1, a la matriz kA = – A se le llama Matriz Negativa de A.

2.

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ:

3.

PRODUCTO PUNTO:

el Producto Punto de una matriz fila1xn y una matriz columna nx1 es la
matriz de orden 1x1 (número real) dada por:
b11
b21

[a11, a12, a13, ... , a1n] =

4.

b31
.
.
.
bn1

PRODUCTO DE MATRICES:

n

= [a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 + ... + a1n bn1] =



a1k bk1

k=1

por el producto AB de la matriz A = [ai j] m xp y la matriz B = [bi j] pxn,
se entiende la matriz C = [ci j] mxn, tal que:
n

ci j = ai1b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + ... + aip bpj =



aik bki

k=1

OBSERVACIONES:
i.

ii.

TAREA:

Para realizar el producto de dos matrices es necesario que el número de
columnas de la primera sea igual al número de filas de la segunda matriz, en
cuyo caso se dice que las matrices son CONFORMABLES para la
multiplicación.
Si A, B y C son conformables para la suma y el producto, entonces:a) A(B + C) = AB + AC
b) (A + B)C = AC + BC
c) A(BC) = (AB)C
d) k(AB) (kA)B = A(kB), k es un escalar.
Sin embargo:
e) AB  BA
f) AB = 0, no necesariamente implica que: A = 0 ó B = 0. Donde 0 = [0] es
la matriz NULA: todos sus elementos son ceros.
g) AC = AB, no necesariamente implica que C = B.

Hallar matrices cuadradas de orden 3 de manera tal que cumplan con los literales e, f y gde la
observación (ii) del producto de matrices.

Danilo Leiva
dleiva@ufg.edu.sv

UFG

3

DETERMINANTES
DEFINICIÓN:

El Determinante es un número asociado con las matrices cuadradas. Es un arreglo
cuadrado de n cantidades encerradas entre barras y que tiene cierto valor. Su forma general es:

det D =D =

a11
a21
a31
.
.
.
an1

a12
a22
a32
.
.
.
an2

a13
a23...