Algebra

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Marque las respuestas verdaderas (s´lo hay una por pregunta). o 2.1 Sean U un espacio vectorial sobre IR y u, v, w ∈ U vectores linealmente dependientes. Entonces: (a) u es combinaci´n lineal de v, w. o

D
⇒ ⇒

2.2 Sean U un espacio vectorial sobre IR y u, v, w ∈ U. Entonces: (a) u, v, w son linealmente dependientesO
⇒

LI

(c) Uno de los tres vectores es combinaci´n lineal de los otros dos. o

D

(b) u y v son linealmente independientes.

LL A

⇒

u = 0U o v = 0 U o w = 0U . u = 0U , v = 0 U y w = 0 U .

(b) u, v, w son linealmente independientes

⇒

V A

(c) u = 0U , v = 0U y w = 0U

⇒

u, v, w son linealmente independientes.

D

SI

(c) 0u + 0v + 0w = 0U

⇒

{u, v,w} es sistema ligado.

E

N

(a) u1 , u2 , u3 son linealmente independientes pendientes.

E

E

2.4 Sean U un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y u1 , u2 , u3 , u4 ∈ U. Entonces:

R

–

M

(b) {u, v, w} es sistema libre

D A

⇒

{u, v} es sistema libre.

A T

D

(a) {u, v} es sistema libre

⇒

w es combinaci´n lineal de u y v. o

IV

(b) u1 , u2 , u3 , u4son linealmente independientes pendientes.

E

Y

E

2.3 Sean U un espacio vectorial sobre IR y u, v, w ∈ U. Entonces:

U

2.5 Si {u1 , u2 , . . . , un−1 , un } es un sistema libre de un espacio vectorial U sobre un cuerpo IK, entonces: (a) {u1 , u2 , . . . , un−1 , un , 0U } es un sistema ligado. (b) {u1 , u2 , . . . , un−1 } es un sistema ligado. (c) {u1 , u2 , . . . , un−1 , 0U } esun sistema libre. 2.6 Si U es un espacio vectorial sobre IR y u, v, w ∈ U verifican w = u + v, entonces: (a) w = 0U (b) w = 0U ⇒ ⇒ {u, v} es un sistema ligado. {u, v} es un sistema libre.

(c) {u, v} es un sistema ligado.

F

C

(c) u1 , u2 , u3 , u4 son linealmente dependientes dientes.

C

E

M ´ A T

E

u1 , u2 , u3 , u4 son linealmente indeu1 , u2 , u4 son linealmente indeu1, u3 , u4 son linealmente depen-

IC

A S

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2

2.7 Sean U un espacio vectorial sobre IR y u, v ∈ U linealmente independientes. Entonces: (a) 2u, 2v son linealmente dependientes. (b) u, u + v, u − v son linealmente independientes. (c) u, u + v, u − v son linealmente dependientes.

(a) v1 + v2 + v3 = ¯ ¯ ¯ ¯ 0

⇒{¯1 , v2 , v3 } es un sistema ligado. v ¯ ¯

V A

(a) {u, v} es un sistema libre (b) {u, v} es un sistema ligado (c) {u, v, w} es un sistema libre

⇒

{u, v, w} es un sistema ligado. {u, v, w} es un sistema ligado. dim U = 3.

D

E

⇒

D A

R

E

(b) S es un sistema ligado.

IV

(c) S es un sistema libre.

U

2.12 Si U es un espacio vectorial sobre IR y dim U = n,entonces: (a) El n´mero de elementos de cualquier sistema generador de U es menor que n. u (b) Todo conjunto de n vectores linealmente independientes de U es una base de U. (c) El n´mero de elementos de cualquier sistema libre de U es mayor que n. u 2.13 Sean U un espacio vectorial sobre IK de dimensi´n n y u1 , . . . , ur ∈ U. Entonces: o (a) r > n (b) r ≥ n (c) r < n ⇒ ⇒ ⇒ {u1 , . . . , ur } es unsistema ligado. {u1 , . . . , ur } es un sistema generador. {u1 , . . . , ur } es un sistema libre.

F

(c) {¯, v } es base de IR2 . u ¯

C

(b) Cualquier w ∈ IR2 se puede escribir como combinaci´n lineal de u y v . ¯ o ¯ ¯

C

(a) Si {¯, v } es un sistema generador de IR2 , entonces {¯, v } es un sistema libre. u ¯ u ¯

E

E

2.11 Sean u, v ∈ IR2 . Entonces: ¯ ¯

N

Y

E

E–

(a) S es un sistema ligado

SI

⇒

dim U = 3.

M

2.10 Sean U un espacio vectorial sobre IR, B = {u1 , u2 } una base de U y S = {v1 , v2 , v3 } un sistema generador de U. Entonces:

A T

D

E

⇒

M ´ A T

IC

2.9 Sean U un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y u, v, w ∈ U. Entonces:

LL A

A S

(b) {¯1 , v2 , v3 } no es una base de IR3 . v ¯ ¯ (c) v1 + v2...