Algebra

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

TEMA Nº 6 (Ultima actualización 24/09/03)

FUNCIONES IMPLÍCITAS

Funciones implícitas de una variable independiente:[pic]
Definición: Se considera que “y” es función implícita de la variable independiente “x”, cuando está establecida indirectamente mediante una ecuación del tipo: [pic]
Consideremos la expresión: [pic], que es la ecuación de unacircunferencia que tiene su centro en el origen de coordenadas y radio “a”.
La forma explícita, [pic] o bien [pic] de la precedente función es: [pic] o [pic], respectivamente en ciertos convenientes dominios.
En muchos casos, dada la ecuación F(x , y) = 0, es posible pasar de la forma implícita a la forma explícita [pic] mediante procedimientos puramente algebraicos (como se ha realizado en elejemplo dado). Pero existen también casos en que ello no es posible.
Por ello trataremos de resolver el problema de determinar las propiedades de una función [pic] definida implícitamente por [pic], sin necesidad de pasar a la forma explícita. No debe pensarse que toda expresión de la forma [pic] determina una función [pic] o [pic] . Es fácil dar ejemplos de funciones [pic] que igualadas a cero nodeterminan soluciones en términos de una variable. Así por ejemplo, sea la función [pic] solo se satisface para el punto x = 0; y = 0, y no existe por lo tanto función y = f(x)
Otro ejemplo más drástico aún es el siguiente: [pic], que al igualar a cero, resulta que no hay ningún valor real ni de “x” ni de “y” que satisfaga la expresión precedente.
Se comprende entonces la necesidad de hallarcondiciones bajo las cuales la expresión [pic] define una función [pic] o [pic] y cuales son las propiedades de éstas, en relación con las propiedades de[pic]
Antes de dar el teorema de existencia, haremos algunas consideraciones de carácter geométrico intuitivo.
La ecuación [pic] resulta equivalente al sistema siguiente:[pic] , cuya solución es la curva en que la superficie [pic] esinterceptada por el plano z = 0 (plano x y).
Cuando esta curva de intersección exista, o en otras palabras, cuando la superficie [pic] corte realmente al plano (x ; y) dicha curva de intersección será el gráfico en el plano (x , y) de una función y = f(x) expresión explícita de[pic].
Vale decir que cuando [pic] define una función y=f(x), se verifica :[pic].
En relación con las posiciones relativasde la superficie z =F(x, y) y el plano coordenado (x,y) analicemos las distintas situaciones geométricas que pueden presentarse:

Una primera posibilidad es que la superficie [pic] y el plano (xy) no tengan puntos en común, por ejemplo el ya citado: [pic].
En tal caso es obvio que no existe curva de intersección con el plano (x y) y por lo tanto no existe solución y = f(x) ni x = g(y).Por ello, se hace necesario considerar solo aquellos casos en que haya por lo menos un punto (x0,y0) que satisfaga la ecuación[pic]. Estos valores (xo , y0 ) constituyen la llamada “solución inicial” de F(x , y)=0
Si existe una solución inicial (x0,y0), geométricamente restan dos posibilidades
1. Que el plano tangente a la superficie [pic]en el punto P0(x,y,0) sea horizontal.
2. Que el planotangente a la misma superficie en el punto considerado No sea horizontal.
Si el plano tangente a la superficie en P0(x,y,0) es horizontal, es fácil dar ejemplos que muestran que la solución y = f(x) ó x = g(y) puede o no existir.
Así, [pic] tiene la solución inicial, siendo horizontal el plano tangente correspondiente a dicho punto (es el mismo plano (x y) como se ve aplicando la ecuación delplano tangente: [pic].
Pero [pic] no define ninguna función y = f(x) ni x = g(y)
Por otra parte, es completamente posible que la ecuación [pic] tenga una solución y = f(x) o bien x = g(y), aún cuando el plano tangente en P(x0,y0,0) sea horizontal. Como ejemplo [pic], de la cual se deduce la función explícita y = 2x o bien la función x = y/2.
Por ello, en el caso excepcional de plano...