algebra

ÁLGEBRA - TEMA 1

TEORÍA DE EXPONENTES

En esta sección examinaremos las propiedades de las
expresiones que contienen exponentes, para dicho estudio
definamos la operación de potenciación.

IDEAS FUERZA
Cuando vayas a aplicar un exponente a (- 5)2 ≠ - 5 2
↓
↓
una base negativa o fraccionaria, coloca
25
25
ésta entre paréntesis.

I. POTENCIACIÓN
Es aquella operación matemática, que consiste enencontrar un número llamado potencia, a partir de otros
dos números llamados base y exponente.

También, es conveniente hacer notar la diferencia entre:
n

ax = a .

n

x.x.x...x
1
424
3

"n factores de x"

y (ax) =

(ax)(ax)(ax)...(ax)
"n factores de x"

Notar que...
Si tomamos sólo en cuenta los signos, se cumple que:
 -;nimpar
( - )n = 
+; n p a r

(+)n =+; paratodon

SUGERENCIAS
Para calcularla potencia, debemos tener presente con qué clase
de exponente estamos trabajando.

2. Exponente cero

1. Exponente natural
a0 = 1; a ≠ 0

xn = 14243
x.x.x...x ; n ∈ N
"nfactoresdex"

Ejemplos:

Ejemplos:
5

3

A) 2 = 2.2.2.2.2
= 32

B) 0 = 0.0.0
=0

C) − 4 4 = −(4) 4
= −(4.4.4.4)
= −256

D) (−4)4 = (−4)(−4)(−4)(−4)
= 256

2
 3
3 3
E)  2  = 2 ⋅ 2
 
=9
4

2
F) 3 = 3.3 = 9
2
2
2

2

G) 10 =10.10
= 100

UNCP REGULAR 2009 - II

A) 930 = 1

B) 0,00002 0 = 1

C) −50 = −1

 =1
D)  − 20

 3 

0

Ojo: 0 0 No está definido
0

E)  1 − 1 − 1  = 00 No definido
2 3 6

3. Exponente negativo
Ejemplos:

3

H) (−10) = (−10)(−10)(−10)
= −1000

a −n =

1

1
1
= ( )n ; a ≠ 0
a
an

TEMA 1 / ÁLGEBRA

Academias Pamer

Exigimos más!
Ejemplos:

1
(− 2) 2
= 1
4

4-3 = 13
4
= 1
64

A)

TEORÍA DEEXPONENTES

B) (− 2)−2 =

= 36
= 729

1
D) 5−2 = 5 2
1
4 −3
43

−2
2
 3
2
C)  2  =  3 
 
 
= 2×2
3 3
4
=
9

=

6
6
B) ( x2.x3 ) = ( x5 )
= x 30

3

A) ( 32 ) = 32.3

3. Potencia de una multiplicación o división
n

n

b

64
25

En general se cumple que:
n
n
am ≠ ( am )

Nota que una expresión puede pasar del numerador al
denominador o viceversa siempre y cuando se le cambia
de signo asu exponente.
Ejemplo:
a)

y −5

=

y

5

b)

x3

2
2
23 ≠ ( 23 )
↓
↓
9
2
26

IDEAS FUERZA
Recuerda:

2

3 = 3 2. 5 3
5-3
=9.125
=1125

a) am.an = am+ n
d)  ab 


Si no hay divisiones entre cero, se cumple:

1. Multiplicación o división de potencias de
igual base

n

n
= a
bn

am = am− n
an
n

e) ( am )

= ( an )

c) ( a.b)n = an.bn
m

= an.m

Ejemplos:

m
an.am = an+m ; a n = am−n
a

2
2
2A) ( − 2.3 )3 = (−2)3.33 B) ( 32. 2−3.7 ) = ( 32) . (2−3) (72 )
= − 8.27
= 34.2−6.72
= − 216
4 2
= 3.7
26

Ejemplos:
B) 2−2.26.2− 3 = 2−2+6+ (−3)
= 21 = 2

2 (− 3) 2
C)  − 3  = 2 = 9
49
 7
7

Precaución: La regla de la multiplicación o división
sólo se aplica a expresiones que tienen la misma base.
Por ejemplo la expresión x 5y3 no se puede simplificar,
porque las bases de las expresionesexponenciales
son diferentes.

II.

RADICACIÓN EN R
n a = b ⇔ bn = a

Donde:

n = índice (n∈ R)

C) ( 3x2y 4 )( 4x4.y −2 ) = 3.4.x 2.x 4.y 4.y−2

a = radicando (a ∈ R)
b = raíz (b ∈ R)

= 12x6y2

D)



b)

Estas propiedades se cumplen para toda clase de exponente
(natural, cero, negativo y fraccionario).

TEOREMAS

A) 32.33 = 35
= 243

b

Ejemplo:

IDEAS FUERZA

x −3

n

( a.b ) = an.b n ;  a  =an

2 81
= 2 81−79
2 79

Además se debe cumplir que:
Par

= 22
=4

+ = +

Impar

+=+

Par

− = Noexiste

Impar

−=−

Ejemplos:
* 3 − 8 = − 2 porque ( −2 )3 = − 8

2. Potencia de una potencia

( am )n = ( an )m = am.n
TEMA 1 / ÁLGEBRA

*
2

2

9 =3
9
porque  53  = 25
25 5
 

UNCP REGULAR 2009 - II

Academias Pamer

TEORÍA DE EXPONENTES

IDEAS FUERZA

* 3 2 5 16 = 5 2 .1 6
5

Recordar lostipos de exponentes estudiados:

* an =

4
4

= 32
=2

* a0 = 1; a ≠ 0

; n ∈N

a14243
. a . a. . . a

*

Exigimos más!

48 = 4 48
243
243
16
=4
81
2
=
3

"nfactoresdea "

*

1
a
 

a −n = 1 =
an

n

*

n

am/n = am

2 . Raíz de una raíz
1) n m a = nm a

* 3 − 0,027 = − 0,3 porque (− 0,3)3 = − 0,027

2) nk amk = n am

Ejemplo:

Ejemplo:

Exponente fraccionario
3

m
Sea n ∈ Q ∧ na existe,...