Algebras De Boole

________________________________________ Algebras de Boole Lógica _______________________________

Un álgebra de Boole es una estructura algebraica de la forma operaciones:

( , ,*, ) , siendo B

{0,1} un conjunto que define las siguientes

La misma puede tomar los siguientes valores:
: (a, b) a b

1+1=1

0+1=1

1+0=1

0+0=0

a 1 1 0 0 a 1 1 0 0

b 1 0 1 0 b 1 0 1 0

a+b 11 1 0 a*b 1 0 0 0

*: ( a, b) a *b

La misma puede tomar los siguientes valores: 1*1=1 0*1=0 1*0=0 0*0=0

: a a

La misma puede tomar los siguientes valores: 1 =0

a A 1 0 0 1 A = comp. de a

Las operaciones anteriormente descritas son adición, producto y complemento, son las únicas operaciones posibles dentro de este conjunto, y las mismas guardan relación con las operaciones de laTeoría básica de Conjuntos, la operación adición se asocia con el operador lógico (Disyunción), el mismo a su vez con la unión, la operación producto se asocia con el operado lógico (Conjunción), el mismo a su vez con la intersección, y el complemento queda con la misma noción del operador negación. El álgebra Booleana, se denomina así en honor a George Boole (1815 -1864), matemático inglés que fueel primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutacióneléctrica bien estables, en 1948. Toda la teoría del algebra booleana está sustentada en los siguientes axiomas:

1. Conmutativa:

a b a *b

b a b*a

a, b

3. Elemento Neutro:

a 0

0 a a

a

a *1 1 * a

a

2. Distributiva:

a (b * c) a * (b c)

( a b) * ( a c ) ( a * b) ( a * c )

a, b, c

4. Elemento Inverso

a a a*a

a

a

1 0

a *a

a

Definición: Unavariable, se dice booleana si y solo si toma valores de B, es decir, 0 y 1. También sucede lo siguiente, para cualquier variable booleana:
x x x
2

x x*x x

Tiene sentido entonces, dar respuesta a las siguientes ecuaciones booleanas:
x y 0 xy 1 si y solo si si y solo si
n

x x

y y

0 1
n} y a través

En particular, si consideremos n

, definimos el vector booleano
n

{(a1, a2, a3 , a4 ,...,an ) / ai {0,1}, 1 i

del mismo a la función de conmutación f : (+,*,-) Ejemplo: Sea f :
3

que relaciona a las variables booleanas por medio de las operaciones

definida como f ( x, y, z)

xy

z , con x, y, z variables booleanas. Halle los posibles valores que

puede tomar dicha función. Solución: El superíndice que posee la función, nos indica la dimensión (tamaño)del vector booleano, de este modo, se debe construir una tabla de valores semejante a la que se usa en lógica proposicional para encontrar los valores de verdad de una proposición compuesta. La cantidad de filas que tendrá la tabla, será #=2n, n es el tamaño o dimensión del vector booleano. La forma de hacer las combinaciones en las variables es análoga a usada en lógica proposicional. Así: x 1 1 11 0 0 0 0 y 1 1 0 0 1 1 0 0 z 1 0 1 0 1 0 1 0 xy 1 1 0 0 0 0 0 0 xy+z 1 1 1 0 1 0 1 0

Observe que la función tiene como únicos resultados los valores visualizados en la tabla, y las combinaciones de variables que hacen la función se anule, son:
(0,0,0) (0,1,0) (1,0,1)

Algo interesante sería, saber que representan las combinaciones anteriores. Si recordamos, estamos trabajando sobre unaestructura binaria, y por ende, los valores que posee la misma son 0 y 1. Se invita al lector que investigue como se pasa un número del sistema decimal al binario y viceversa.

Otras identidades muy útiles del algebra Booleana: 1. Dominación:
x 1 1 x*0 x xy x( x y) 0 x x

x

2. Idempotencia:

x x x x*x x

x

3. Absorción:

x, y

4. Asociatividad:

x ( y z ) ( x y) z x * ( y * z...