Algunas Distribuciones Continuas Sobresalientes 1

Algunas Distribuciones Continuas Sobresalientes

Uniforme Continua, Exponencial, Normal, Gama, Weibull, Logarítmica-Normal,
etc.
Distribución Uniforme Continua (o Rectangular)
DEFINICIÓN. Sean 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑹 constantes tal que −∞ < 𝑎 < 𝑏 < +∞, y sea 𝑋 una
v.a. continua con 𝑅𝑋 = [𝑎, 𝑏]. Diremos que 𝑋 tiene distribución uniforme continua
en [𝑎, 𝑏] con parámetros 𝑎 y 𝑏, lo cual denotaremos por
𝑋~𝑈[𝑎, 𝑏],
si su función de densidad está dada como sigue :
𝑓𝑋 (𝑥) =

a
Ejercicio.

1
𝑰
(𝑥)
𝑏 − 𝑎 [𝒂,𝒃]

•

•

o

o

b

Obtener 𝐹𝑋 (𝑥) ≔ 𝑃[𝑋 ≤ 𝑥] . . .

TEOREMA. Si 𝑋~𝑈[𝑎, 𝑏], con −∞ < 𝑎 < 𝑏 < +∞, entonces
𝑎+𝑏
(a) 𝜇𝑋 = 𝐸[𝑋] = 2
(b) 𝜎𝑋2 = 𝑉(𝑋) =
Demostración
(a) . . . ,

(𝑎−𝑏)2
12

(b) . . .

1

Ejercicios
I. Se elige un punto al azar sobre el segmento [1,3]. Nótese que si se define la
v.a. 𝑋: lacoordenada del punto elegido, entonces 𝑋~𝑈[1,3], debido a que la
elección se realiza de forma aleatoria. Por lo anterior:
1
𝑓𝑋 (𝑥) = 𝑰[𝟏,𝟑] (𝑥)
2
(a) Obtener 𝐸[𝑋] y 𝑉(𝑋)
Calcular probabilidad de que el punto elegido:
(b) quede entre 1 y 3/2
(c) quede entre 5/4 y 11/4
(d) sea menor que 11/5.
(e) sea mayor que 5/3.
Suponiendo que el punto elegido está entre 7/6 y 5/3, (f) ¿cuál es la
probabilidad de quesea mayor o igual que 4/3?
II. Considere que una sala de video-conferencias puede ser reservada para
cierta compañía por a lo más 3 horas, por lo cual se puede suponer que la
duración 𝑋 de una conferencia tiene distribución uniforme en [0,3].
(a) Determine la función de densidad de 𝑋. ¿Cuál es la probabilidad de que
cualquier conferencia: (b) dure al menos 1 hora?, (c) no se exceda de hora y
media?(d) Dure más de 45 min? (e) Obtener 𝐸[𝑋] y 𝑉(𝑋)
III. Sea 𝑟 > 0 el radio de un neumático de determinado automóvil. Por
experiencia sabemos que al aplicar los frenos algún punto de dicho neumático
hará contacto directo con la superficie de rozamiento, deslizándose sobre éste y
causando desgaste sobre dicho punto. Nótese que si asumimos que 𝑋:ubicación
de un punto dado en la circunferencia delneumático (medido sobre éste desde
un punto de referencia 0), entonces podemos considerar que para aplicaciones
sucesivas de los frenos, resulta razonable suponer que 𝑋~𝑈[0, 2𝜋𝑟), por lo cual:
1
𝑓𝑋 (𝑥) =
𝑰[𝟎,𝟐𝝅𝒓] (𝑥)
2𝜋𝑟

Distribución Exponencial
Propósito. Analizar v.a’s que surgen del experimento de medir el tiempo
hasta que ocurre un evento específico (al cual llamaremos éxito).
Ejemplos:
- Tiempotranscurrido hasta que llega el primer cliente a un banco en un día
dado.
- Tiempo de vida útil de cierto aparato eléctrico.
2

Sea la v.a.
𝑋: Tiempo transcurrido hasta que se presenta por primera vez un éxito
Entonces
𝑅𝑋 = (0, ∞)
Objetivo. Calcular 𝑓𝑋 (𝑥), es decir, la función de densidad de 𝑋

Obtendremos primero 𝐹𝑋 (𝑥) ≔ 𝑃[𝑋 ≤ 𝑥] y luego usaremos la propiedad
𝑓𝑋′ = 𝐹𝑋 (𝑥).

Procedimiento
𝜆: promedio de éxitos por unidad de tiempo



Sean las v.a.’s



𝑁: número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo
⟹ 𝑁~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆)



𝑁𝑡 : número de éxitos que ocurren en 𝑡 unidades de tiempo
⟹ 𝑁𝑡 ~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆𝑡)
Para cada 𝑥 > 0:



[𝑋 ≤ 𝑥]: a lo más transcurre un tiempo 𝑥 hasta que se presenta el 1er
éxito (es equivalente a afirmar que ocurre al menos un éxito en el
intervalo de tiempo (0, 𝑥])


De lo anterior, nótese que los eventos [𝑋 ≤ 𝑥] y [𝑁𝑥 ≥ 1] son equivalentes,
por lo cual:
𝑃[𝑋 ≤ 𝑥] = 𝑃[𝑁𝑥 ≥ 1].
Entonces para cada 𝑥 > 0:
𝐹𝑋 (𝑥) ≔ 𝑃[𝑋 ≤ 𝑥] = 𝑃[𝑁𝑥 ≥ 1] = 1 − 𝑃[𝑁𝑥 = 0] = 1 − 𝑓𝑁𝑥 (0) = 1 − 𝑒 −𝜆𝑥
De modo que, formalmente:
𝐹𝑋 (𝑥) = { 1 − 𝑒
0



−𝜆𝑥

𝑠𝑖 𝑥 > 0
𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

En consecuencia, dado que 𝑓𝑋 = 𝐹𝑋′ , entonces:
−𝜆𝑥
𝑓𝑋 (𝑥) = {𝜆𝑒
0

𝑠𝑖 𝑥 > 0
𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
3

DEFINICIÓN. Sea 𝑋 unav.a. continua con 𝑅𝑋 = (0, ∞) y 𝜆 > 0 una constante.
Diremos que 𝑋 tiene distribución exponencial con parámetro 𝜆, lo cual
denotaremos por
𝑋~exp(𝜆) ,
si su función de probabilidad está dada como sigue :
𝑓𝑋 (𝑥) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 𝑰(𝟎,∞) (𝑥)

𝜆

𝑓𝑋

𝑋
Observaciones
Los valores más pequeños son los que tienen mayor peso.
La distribución exponencial es la versión continua de la distribución
geométrica.
- 𝜆...