Distribuciones continuas

NOTAS DE CLASE

UNIDAD 2.

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

1. DISTRIBUCION UNIFORME
2. DISTRIBUCION GAMMA
3. DISTRIBUCION EXPONENCIAL
4. DISTRIBUCION WEIBULL
5. DISTRIBUCION BETA
6. DISTRIBUCION NORMAL

1. DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA

Definición:
La función de densidad de una v.a. continua X con distribución uniforme en el intervalo está dada por:



Gráficamente:2.1 Esperanza


Demostración:
La demostración es inmediata, si se tiene en cuenta que para una v.a. continua, la esperanza se define mediante


Asi:


2.2 Varianza

También es inmediata dado que:
, donde


Finalmente


2.3 Función acumulada o Función de distribución





En consecuencia la descripción completa de la función de distribución de una v.a. uniformecontinua es:




Grafica de F(x)=P (X≤ x)


Aplicación:




El espesor del borde de un buje de bronce está distribuido uniforme entre 0.95 y 1.05 Mm...
a) Determine la función de distribución.
Si se selecciona un buje aleatoriamente, aplique la función de distribución para calcular la probabilidad de que el borde del espesor sea:

b) Cuando mucho 1.01 mm
c) Mínimo 0.98 mm
d)Entre 0.98 y 1.03 mm
e) Exactamente 1 mm
f) Calcule el porcentaje de bordes cuyo espesor es mayor de 1.02 m.m.
g) Que espesor esta excedido por el 90% de los bordes más altos.
h) Calcule la media y varianza del espesor



Ejercicios propuestos:

1. Suponga que X tiene una distribución uniforme en el intervalo [1.5, 5.5].
a. Calcule la media varianza y desviación estándar
b. Calcule P(X 8)c) P (3 < X < 8)

3. Suponga que el tiempo dedicado a podar cierto cultivo (en horas) es una va. que tiene una distribución gamma con parámetros  = 2 y β= 0.5 Cuál es la probabilidad de que una persona

a) Tarde a lo sumo una hora para podar el cultivo
b) Por lo menos 2 horas para podar el cultivo
c) Entre 0.5 y 1.5 horas

4. Suponga que el tiempo empleado por un estudiante seleccionadoal azar que utiliza una terminal conectada a un centro local de computo, tiene una distribución gamma con media de 20 min. y varianza de 80 (min.)2

a) Cuales son los valores de  y β
b) Cual es la probabilidad de que un estudiante utilice la terminal por lo menos 24 min.
c) Cual es la probabilidad de que un estudiante pase entre 20 y 40 min usando la terminal


3. DISRIBUCIONEXPONENCIAL

La distribución gamma genera una familia de distribuciones al asignar valores a  y a β, así:
Si  = 1 se obtiene la distribución exponencial, cuya función de densidad, al reemplazar nos queda así:


Finalmente, la función de densidad de una va x distribuida exponencialmente está dada por:




Esperanza: E(X)=β
Varianza: V(X)=β2


Función de distribución:

Aplicación:
Eltiempo de espera hasta que llegue un taxi a una estación, sigue una distribución exponencial con un promedio de 5 minutos.
Cuál es la probabilidad de que una persona tenga que esperar:
a) Cuando mucho 10 minutos…………….R/0.8646
b) Mas de 4 minutos
c) Entre 3 y 7 minutos
d) Resolver por Excel (Haga λ=1/β=0.2)
e) Si la persona espero media hora, cual es la probabilidad de que el taxi llegue en lospróximos 8 minutos

3.1 RELACION ENTRE LA POISSON Y LA EXPONENCIAL

La primera relación es que el parámetro β es el inverso de λ, es decir:

β =1/λ λ =1/β



Ejemplo.
Suponga que β es el tiempo entre llegadas de clientes a un banco, entonces λ es el número de clientes por minuto, si β es la distancia entre huecos en una avenida (en metros), entonces λ es el numerode huecos por metros.

Si se reemplaza en la función de densidad de la exponencial, esta nos queda así:


Y la función de distribución:



Aplicación:

Suponga que el número de clientes que llegan a un banco, sigue una distribución poisson con un promedio de 2 personas por minuto.

Cuál es la probabilidad de que lleguen
a) Exactamente 3 clientes en un minuto
b) Cuando mucho 10...