Análisis factorial

Ejemplo Simple de Análisis Factorial
En un MBA se tienen las siguientes notas para 3 cursos: Finanzas, Marketing y Recursos Humanos.
Estudiante | Finanzas | Marketing | Recursos Humanos |
1 | 6 | 12 | 10 |
2 | 14 | 6 | 6 |
3 | 20 | 18 | 16 |
4 | 6 | 18 | 14 |
5 | 20 | 12 | 10 |

Se desea identificar 2 factores que representen a las notas de los 3 cursos ylos pesos correspondientes a cada nota de cada uno de los 3 cursos.
¿Qué factores identifica y como los interpretaría?
Para identificar con precisión los factores necesitamos hallar los pesos de los factores correspondientes a cada una de las notas de los 3 cursos, la varianza explicada, los errores observados y los puntajes de cada factor para cada alumno.
Solución:
En este caso podríamosidentificar 2 factores: Habilidad Cuantitativa y Habilidad Verbal.
La representación que primero se nos podría ocurrir es poner las variables X en función de los factores F con una relación lineal como sigue:
X1 = c1+ q11f1 + q12f2+e1
X2 = c2+ q21f1 + q22f2+e2
X3 = c3+ q31f1 + q32f2+e3
X = C + QF + U
A priori podríamos suponer que los pesos Q tendrían las siguientes características:Variable X | Peso del Factor Habilidad Cuantitativa F1 | Peso del Factor Habilidad Verbal F2 |
Finanzas X1 | Grande (q11) | Pequeño (q12) |
Marketing X2 | Pequeño (q21) | Grande (q22) |
Recursos Humanos X3 | Pequeño (q31) | Grande (q32) |

Otra alternativa es que el factor 1 sea Habilidad Verbal y el factor 2 Habilidad Cuantitativa. En eset caso se invertirán las características indicadas de lasiguiente forma:
Variable X | Peso del Factor Habilidad Verbal F1 | Peso del Factor Habilidad Cuantitativa F2 |
Finanzas X1 | Pequeño (q12) | Grande (q11) |
Marketing X2 | Grande (q22) | Pequeño (q21) |
Recursos Humanos X3 | Grande (q32) | Pequeño (q31) |

Esto dependerá del orden asignado a los factores lo cual dependerá también del método empleado para obtener los factores.
*Podemos suponer que la nota en finanzas depende mayormente de la habilidad cuantitativa y menos de la habilidad verbal.
* Podemos suponer que la nota en Marketing depende poco de la habilidad cuantitativa y mayormente de la habilidad verbal.
* Podemos suponer que la nota en Recursos Humanos depende poco de la habilidad cuantitativa y mayormente de la habilidad verbal.
Supuestos del modelofactorial:
* E(e1) = E(e2)= E(e3) =0, o equivalentemente E(U) = 0
* Var(e1) = σ1 = Var(e2)=σ2 = Var(e3) = σ3
* E(f1) = E(f2) = 0
* Var(f1)=Var(f2) = 1
* Cov(ei,ej) = 0, Cov(f1,f2) = 0 y Cov(fi,ej) = 0
De estos supuestos se deduce que E(X) = C = μ por lo que sólo sería necesario estimar Q.
Estos supuestos se dan para mayor facilidad de los cálculos matemáticos y facilitarla evaluación e interpretación de los factores. Como los factores no se pueden observar directamente se puede asumir que son variables estandarizadas (con Media = 0 y Varianza = 1).

Matriz Varianza-Covarianza
Una dificultad es que como F no es observable no es posible obtener Q mediante una regresión por lo que debemos encontrar otras formas de estimarlos. Una forma simple podría serencontrar las constantes de Q tal que la varianza explicada por los factores f1 y f2 obtenida sea lo más cercana a la matriz S = cov(Datos) obtenida directamente de la muestra de datos.
Tenemos:
X1 = μ1+ q11f1 + q12f2+e1
X2 = μ2+ q21f1 + q22f2+e2
X3 = μ3+ q31f1 + q32f2+e3
X = μ + QF + U
Expresaremos Cov(QF+μ+U) en función de las constantes de Q: q11, q21, q31, q12, q22, q32, e1, e2 y e3.
Var(X1)= Var(μ1 + q11f1 + q12f2 + e1)
Var(X2) = Var(μ2 + q21f1 + q22f2 + e2)
Var(X3) = Var(μ3 + q31f1 + q32f2 + e3)
Obtenemos lo siguiente en base a los supuestos de independencia entre f1 y f2 y entre fi y ej:
Var(X1) = Var(μ1) + Var(q11f1 + q12f2) + Var(e1)
= q11^2 + q12^2 + Var(e1)
Cov(X1,X2) = cov(μ1 + q11f1 + q12f2 + e1, μ2 + q21f1 + q22f2 + e2)
= cov(q11f1 + q12f2 + e1, q21f1 +...