Analisis 2

Introducción a las funciones de varias variables
Alfredo Bautista Santa-Cruz Curso 209/2010

Capítulo 1

Análisis de funciones de varias variables.
1.1. Introducción

Son conocidos los problemas que dependen de una única variable, por ejemplo: Area A de un cuadrádo de lado l: A (l) = l2 Función de ingresos de una empresa que únicamente produce x unidades de un bien al precio p fijo: I(x) = p · x Pero, a veces, es necesario utilizar más variables para describir un problema. Así, necesitamos definir funciones que dependan de más de una variable: El área de un rectángulo cuya base es b y cuya altura es h: A (b, h) = b · h Los ingresos de una empresa que produce x1 e x2 unidades de dos bienes distintos, cuyos respectivos precios son p1 y p2 : I (x1 , x2 ) = p1 · x1 + p2 · x2 Lafunción de producción de Cobb-Douglas, que describe las unidades producidas en función de x unidades de trabajo e y unidades de capital, donde C y a son dos constantes fijas tales que 0 < a < 1: f (x, y) = C · xa · y 1−a En resumen, en un problema en el que interviene más de una característica (variable) independiente, es necesario definir funciones que dependen de más de una variable.

1.2.

Elconjunto Rn

Llamemos R al conjunto de números reales. El conjunto de pares de valores (x1 , x2 ) con x1 , x2 reales lo llamaremos R2 , es decir, es el producto cartesiano R2 = R × R = {(x1 , x2 ) : x1 ∈ R, x2 ∈ R} 1

En general, el conjunto de n-uplas (x1 , . . . , xn ) con x1 , . . . , x2 reales lo llamaremos Rn , es decir, el producto cartesiano Rn = R × . . . × R = {(x1 , . . . , xn ) : x1∈ R, . . . , xn ∈ R}

1.3.

Funciones de varias variables

Definición 1 (Función de varias variables) Sea D un subconjunto de Rn . Si a cada (x1 , . . . , xn ) ∈ D le corresponde un único número real f (x1 , . . . , xn ) se dice que f es una función de las variables x1 , . . . , xn . Ejemplo 2 Las funciones definidas anteriormente A (b, h) = b · h I (x1 , x2 ) = p1 · x1 + p2 · x2 f (x, y) =C · xa · y 1−a son funciones de dos variables. Definición 3 (Dominio y recorrido) El conjunto D de la definición anterior se llama dominio de f, y el conjunto de valores f (x1 , . . . , xn ) correspondiente a dicho dominio se llama recorrido de f . Ejemplo 4 f (x, y) = x2 + y 2

La función f está definida para todo (x, y) ∈ R2 y por tanto el dominio de f es D = R2 . f (x, y) = log xy Para que lafunción f esté definida es necesario que xy > 0 entonces x>0 y>0 x 0 ∪ (x, y) ∈ R2 : x < 0, y + x < 0 Así el dominio es el conjunto D = (x, y) ∈ R2 : xy + x2 > 0 =

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2. f (x, y) = e y . Tenemos que D = (x, y) ∈ R2 : y = 0 Así el dominio es

x

3. f (x, y, z) = 2x + 7y2 − 1200xy + 8. Tenemos que D = R3 ya que f está definida para todo punto (x, y, z). Ejemplo 19 Dibujaremos algunosconjuntos de nivel 1. f (x, y) = xy. Tenemos que
1 Así, las curvas de nivel verifican y = k x para cada k.

Uk = (x, y) ∈ R2 : xy = k

2. f (x, y) = x + y. Tenemos que Uk = (x, y) ∈ R2 : x + y = k Así, las curvas de nivel verifican y = k − x para cada k.

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Ejemplo 20 Estudiaremos la continuidad de algunas funciones 1. f (x, y) =
x2 −y2 x2 +y2

0

si (x, y) = (0, 0) si (x, y) = (0, 0)Para todo (x, y) = (0, 0) tenemos que f es una función racional cuyo denominador no se anula, por lo que f es continua en cualquier punto (x, y) = (0, 0). ¿Qué pasa en (0, 0)? Nos aproximaremos por dos caminos distintos, la recta y la recta Así
(x,y)→(0,0);x=0

x=0 y=0

l´ ım

f (x, y) =

x2 − y 2 02 − y 2 = l´ ım 2 = −1 y→0 0 + y 2 (x,y)→(0,0);x=0 x2 + y 2 l´ ım x2 − y 2 x2 − 02 = l´ ım2 =1 x→0 x + 02 (x,y)→(0,0);y=0 x2 + y 2 l´ ım

(x,y)→(0,0);y=0

l´ ım

f (x, y) =

y como estos dos límites son distintos, entonces no existe
(x,y)→(0,0)

l´ ım

f (x, y)

y por tanto no puede ser continua en (0, 0). (Es posible calcular el límite por todas las rectas y = λx a la vez: x2 1 − λ2 x2 − λ2 x2 1 − λ2 l´ ım f (x, y) = l´ ım = l´ ım 2 = x→0 x 1 + λ2 (x,y)→(0,0);y=λx...