Analisis De Metodos
Páginas: 7 (1551 palabras)
Publicado: 20 de mayo de 2012
Cap´ıtulo 20
Integraci´on num´erica
Introduccio´n
En este cap´ıtulo nos ocupamos del c´alculo aproximado de integrales definidas de la
forma
b
I = f (x) dx
a
donde f se supone una funcio´n continua en [a, b].
2
2
Este problema se puede resolver de modo exacto a partir de una primitiva de f . Si se dispone de una funcio´n F (sencilla de evaluar) tal que F (x) =f (x) para todo x ∈ (a, b), sabemos que I = F (b) − F (a) y el problema esta´ resuelto de modo exacto. Pero es conocido que muchas funciones, incluso de aspecto “inofensivo” como e−x , sen(x2 ), . . ., no admiten una primitiva expresable en t´erminos de funciones elementales. Cuando f es una funcio´n con esta caracter´ıstica, o bien cuando no se dispone de una expresi´onexpl´ıcita para f , sino so´lo de una tabla de valores, es necesario recurrir a m´etodos de c´alculo aproximado, denominados fo´rmulas de cuadratura num´erica, que consisten, en general, en aproximar I
n
por una suma del tipo
i=0
ai f (xi).
Existe una gran cantidad de estos m´etodos, desarrollados pensando en problemas dis-
tintos. Dadas las limitaciones de este texto, s´olo pretendemosaqu´ı presentar la posibilidad
de la integracio´n num´erica, incluyendo alguno de los m´etodos ma´s conocidos, concreta- mente el m´etodo del trapecio o regla del trapecio (simple y compuesta) y el m´etodo de Simpson o regla de Simpson (simple y compuesta).
Para un estudio ma´s detallado el lector puede dirigirse a un texto espec´ıfico de Ana´lisis
Num´erico.
1.M´etodos de Newton-Coˆtes
Los m´etodos discutidos en esta seccio´n se basan en la idea de interpolar la funcio´n f
b
por una funcio´n polino´mica Pn y aproximar I por
Pn (x) dx.
a
Naturalmente, el m´etodo ser´a exacto cuando f sea un polinomio de grado menor o
igual que n.
Las fo´rmulas que daremos ser´an so´lo las llamadas “cerradas”, esto es, los extremosdel intervalo de integracio´n forman parte del conjunto de puntos de interpolacio´n.
608 Cap´ıtulo 20. Integracio´n num´erica
1.1. M´etodo del trapecio
El m´etodo o regla del trapecio consiste en tomar la aproximacio´n
b h
f (x) dx ≈
a 2
f (a) + f (b)
donde h = b − a (v´ease figura 20.1).
Notas:
Fig. 20.1
1) La fo´rmula se obtiene integrando elpolinomio de interpolacio´n de f en los puntos
(a, f (a)), (b, f (b)). Por ello, naturalmente, cuando f (a) y f (b) son positivos, la aproxi- macio´n obtenida es el ´area del trapecio de v´ertices (a, f (a)), (b, f (b)), (b, 0) y (a, 0).
2) V´ease una aplicaci´on de este m´etodo en el problema resuelto 2, apartado a).
1.2. Teorema
Si f ∈ C 2 [a, b] existe ξ ∈ (a, b) tal que
b h
f(x) dx =
a 2
f (a) + f (b) −
h3
f (ξ)
12
Nota: La demostraci´on de este resultado es el contenido del problema resuelto 1.
1.3. Corolario
Si |f (x)| ≤ M para todo x ∈ (a, b), entonces una cota del error cometido al aproximar
b h3
f (x) dx por la regla del trapecio es M .
a 12
1.4. Regla de Simpson
El m´etodo o regla de Simpson consiste en aproximarb h
f (x) dx ≈
a 3
f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )
donde h =
b − a
2
, x0 = a, x1 = a + h y
x2 = b (v´ease figura 20.2).
Notas:
Fig. 20.2
1) Esta fo´rmula se obtiene integrando el polinomio interpolador de f en los puntos x0 ,
x1 y x2 , es decir aproximando la funcio´n f por un arco de para´bola.
2) V´ease una aplicacio´n de estem´etodo en el problema resuelto 2, apartado b).
Integracio´n num´erica compuesta 609
1.5. Teorema
Si la funcio´n f ∈ C 4 [a, b] existe ξ ∈ (a, b) tal que
1.6. Corolario
b h
f (x) dx =
a 3
f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2) −
5
5
h f (4)(ξ)
90
Si |f (4)(x)| ≤ M para todo x ∈ (a, b), entonces una cota del error cometido al aproxi-
mar
b
f (x) dx por la regla...
Integraci´on num´erica
Introduccio´n
En este cap´ıtulo nos ocupamos del c´alculo aproximado de integrales definidas de la
forma
b
I = f (x) dx
a
donde f se supone una funcio´n continua en [a, b].
2
2
Este problema se puede resolver de modo exacto a partir de una primitiva de f . Si se dispone de una funcio´n F (sencilla de evaluar) tal que F (x) =f (x) para todo x ∈ (a, b), sabemos que I = F (b) − F (a) y el problema esta´ resuelto de modo exacto. Pero es conocido que muchas funciones, incluso de aspecto “inofensivo” como e−x , sen(x2 ), . . ., no admiten una primitiva expresable en t´erminos de funciones elementales. Cuando f es una funcio´n con esta caracter´ıstica, o bien cuando no se dispone de una expresi´onexpl´ıcita para f , sino so´lo de una tabla de valores, es necesario recurrir a m´etodos de c´alculo aproximado, denominados fo´rmulas de cuadratura num´erica, que consisten, en general, en aproximar I
n
por una suma del tipo
i=0
ai f (xi).
Existe una gran cantidad de estos m´etodos, desarrollados pensando en problemas dis-
tintos. Dadas las limitaciones de este texto, s´olo pretendemosaqu´ı presentar la posibilidad
de la integracio´n num´erica, incluyendo alguno de los m´etodos ma´s conocidos, concreta- mente el m´etodo del trapecio o regla del trapecio (simple y compuesta) y el m´etodo de Simpson o regla de Simpson (simple y compuesta).
Para un estudio ma´s detallado el lector puede dirigirse a un texto espec´ıfico de Ana´lisis
Num´erico.
1.M´etodos de Newton-Coˆtes
Los m´etodos discutidos en esta seccio´n se basan en la idea de interpolar la funcio´n f
b
por una funcio´n polino´mica Pn y aproximar I por
Pn (x) dx.
a
Naturalmente, el m´etodo ser´a exacto cuando f sea un polinomio de grado menor o
igual que n.
Las fo´rmulas que daremos ser´an so´lo las llamadas “cerradas”, esto es, los extremosdel intervalo de integracio´n forman parte del conjunto de puntos de interpolacio´n.
608 Cap´ıtulo 20. Integracio´n num´erica
1.1. M´etodo del trapecio
El m´etodo o regla del trapecio consiste en tomar la aproximacio´n
b h
f (x) dx ≈
a 2
f (a) + f (b)
donde h = b − a (v´ease figura 20.1).
Notas:
Fig. 20.1
1) La fo´rmula se obtiene integrando elpolinomio de interpolacio´n de f en los puntos
(a, f (a)), (b, f (b)). Por ello, naturalmente, cuando f (a) y f (b) son positivos, la aproxi- macio´n obtenida es el ´area del trapecio de v´ertices (a, f (a)), (b, f (b)), (b, 0) y (a, 0).
2) V´ease una aplicaci´on de este m´etodo en el problema resuelto 2, apartado a).
1.2. Teorema
Si f ∈ C 2 [a, b] existe ξ ∈ (a, b) tal que
b h
f(x) dx =
a 2
f (a) + f (b) −
h3
f (ξ)
12
Nota: La demostraci´on de este resultado es el contenido del problema resuelto 1.
1.3. Corolario
Si |f (x)| ≤ M para todo x ∈ (a, b), entonces una cota del error cometido al aproximar
b h3
f (x) dx por la regla del trapecio es M .
a 12
1.4. Regla de Simpson
El m´etodo o regla de Simpson consiste en aproximarb h
f (x) dx ≈
a 3
f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )
donde h =
b − a
2
, x0 = a, x1 = a + h y
x2 = b (v´ease figura 20.2).
Notas:
Fig. 20.2
1) Esta fo´rmula se obtiene integrando el polinomio interpolador de f en los puntos x0 ,
x1 y x2 , es decir aproximando la funcio´n f por un arco de para´bola.
2) V´ease una aplicacio´n de estem´etodo en el problema resuelto 2, apartado b).
Integracio´n num´erica compuesta 609
1.5. Teorema
Si la funcio´n f ∈ C 4 [a, b] existe ξ ∈ (a, b) tal que
1.6. Corolario
b h
f (x) dx =
a 3
f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2) −
5
5
h f (4)(ξ)
90
Si |f (4)(x)| ≤ M para todo x ∈ (a, b), entonces una cota del error cometido al aproxi-
mar
b
f (x) dx por la regla...
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