Analisis De Vibraciones
Páginas: 58 (14299 palabras)
Publicado: 16 de diciembre de 2012
Cap´ ıtulo 3
Oscilaciones Lineales con 1 Grado de Libertad
Es muy com´n que el objetivo de un dise˜o mec´nico sea una estrucu n a tura o un mecanismo que permanezca cerca de una posici´n de equilibrio o estable, pudiendo realizar sin embargo peque˜os movimientos u oscilaciones n alrededor de esa posici´n. Una variante ser´ un sistema cuyo movimiento o ıa objetivo sea una trayectoriadeterminada, admitiendo peque˜as oscilaciones n o variaciones acotadas respecto de la misma. Las solicitaciones y la respuesta de un sistema debido a cargas din´a micas pueden superar notablemente los efectos de las mismas cargas en condiciones est´ticas, aplicadas de forma suficientemente lenta. Los dise˜os a n de ingenier´ cada vez requieren m´s una adecuada respuesta din´mica. ıa a a Esto puede deberse aque las cargas realmente se apliquen de forma muy r´pida, como a asignar una mayor importancia a aspectos como el mantenia miento de la funcionalidad, la resistencia, y el confort ante las vibraciones. Estas condiciones de dise˜o a menudo se a˜aden a las puramente est´ticas, n n a de estabilidad y resistencia en la posici´n de equilibrio. o En la mayor´ de los casos pr´cticos, estas peque˜asoscilaciones se ıa a n a pueden considerar como lineales (m´s adelante se precisa el significado de este t´rmino) pudi´ndose analizar mediante la teor´ que se expone en e e ıa este cap´ ıtulo y en el cap´ ıtulo 10 para sistemas con varios grados de libertad. Comenzamos aqu´ por los casos m´s simples de oscilaciones, los de sisı a temas con 1 grado de libertad. Aunque en la realidad casi todos loscasos tienen varios grados de libertad, en numerosas situaciones existe un grado de libertad predominante, pudi´ndose despreciar los otros modos de vibrae ci´n en una primera aproximaci´n. Ser´ v´lido en estos casos el estudio o o a a 3.1
3.2 Cap´ ıtulo 3. OSCILACIONES LINEALES CON 1 GRADO DE LIBERTAD mediante las t´cnicas que presentamos en este cap´ e ıtulo; en cualquier caso, ser´n la basepara el estudio de las oscilaciones con varios grados de libertad a que se tratan m´s adelante (cap´ a ıtulo 10).
3.1.
3.1.1.
El Oscilador Arm´nico Simple o
Ecuaci´n del Movimiento o
Sea una masa puntual, m, obligada a moverse seg´n una recta fija, sujeta u a un punto dado de la misma por medio de un resorte el´stico (es decir, un a muelle que ejerce una fuerza proporcional a suelongaci´n), de constante k, o sin que existan otras fuerzas aplicadas. Si se denomina x la coordenada de m a lo largo de la recta, el resorte el´stico ejerce una fuerza recuperadora, a que se opone a la elongaci´n, de valor o F = −k(x − x0 ), siendo x0 la que se denomina longitud natural del resorte, para la cual ´ste e quedar´ sin tensi´n. El signo ha de ser negativo puesto que la fuerza del ıa o resortetiene sentido contrario a la elongaci´n, es decir, es una resistencia o interna que se opone a ella. Decimos que se trata de un resorte lineal, porque la fuerza desarrollada en el mismo depende linealmente de la elongaci´n: a doble elongaci´n, doble o o fuerza, y a elongaci´n mitad, la fuerza se divide por dos. o x
E
¡e ¡
¡e ¡e ¡e ¡e ¡e e ¡ e ¡ e ¡ e ¡ e ¡ e ¡ e¡ e¡ e¡ e¡e¡ e¡
}
Figura 3.1: Oscilador arm´nico simo ple
k
m
Como podemos elegir el origen de coordenadas donde nos plazca, lo haremos en el punto x0 , de forma que la expresi´n de la fuerza del muelle o sea F = −kx. Aplicando el principio de la cantidad de movimiento (2.2), obtenemos la ecuaci´n din´mica de este sistema: o a m¨ = −kx x ⇒ m¨ + kx = 0 x (3.1)
Aptdo. 3.1. El OsciladorArm´nico Simple o
3.3
Se trata de una ecuaci´n diferencial ordinaria con las siguientes caraco ter´ ısticas: de segundo orden, ya que intervienen derivadas segundas; lineal, ya que as´ es la dependencia en relaci´n con la variable x y sus ı o derivadas; de coeficientes constantes, pues supondremos fijos m (masa del sistema) y k (rigidez del resorte); homog´nea, pues la ecuaci´n est´ igualada a...
Oscilaciones Lineales con 1 Grado de Libertad
Es muy com´n que el objetivo de un dise˜o mec´nico sea una estrucu n a tura o un mecanismo que permanezca cerca de una posici´n de equilibrio o estable, pudiendo realizar sin embargo peque˜os movimientos u oscilaciones n alrededor de esa posici´n. Una variante ser´ un sistema cuyo movimiento o ıa objetivo sea una trayectoriadeterminada, admitiendo peque˜as oscilaciones n o variaciones acotadas respecto de la misma. Las solicitaciones y la respuesta de un sistema debido a cargas din´a micas pueden superar notablemente los efectos de las mismas cargas en condiciones est´ticas, aplicadas de forma suficientemente lenta. Los dise˜os a n de ingenier´ cada vez requieren m´s una adecuada respuesta din´mica. ıa a a Esto puede deberse aque las cargas realmente se apliquen de forma muy r´pida, como a asignar una mayor importancia a aspectos como el mantenia miento de la funcionalidad, la resistencia, y el confort ante las vibraciones. Estas condiciones de dise˜o a menudo se a˜aden a las puramente est´ticas, n n a de estabilidad y resistencia en la posici´n de equilibrio. o En la mayor´ de los casos pr´cticos, estas peque˜asoscilaciones se ıa a n a pueden considerar como lineales (m´s adelante se precisa el significado de este t´rmino) pudi´ndose analizar mediante la teor´ que se expone en e e ıa este cap´ ıtulo y en el cap´ ıtulo 10 para sistemas con varios grados de libertad. Comenzamos aqu´ por los casos m´s simples de oscilaciones, los de sisı a temas con 1 grado de libertad. Aunque en la realidad casi todos loscasos tienen varios grados de libertad, en numerosas situaciones existe un grado de libertad predominante, pudi´ndose despreciar los otros modos de vibrae ci´n en una primera aproximaci´n. Ser´ v´lido en estos casos el estudio o o a a 3.1
3.2 Cap´ ıtulo 3. OSCILACIONES LINEALES CON 1 GRADO DE LIBERTAD mediante las t´cnicas que presentamos en este cap´ e ıtulo; en cualquier caso, ser´n la basepara el estudio de las oscilaciones con varios grados de libertad a que se tratan m´s adelante (cap´ a ıtulo 10).
3.1.
3.1.1.
El Oscilador Arm´nico Simple o
Ecuaci´n del Movimiento o
Sea una masa puntual, m, obligada a moverse seg´n una recta fija, sujeta u a un punto dado de la misma por medio de un resorte el´stico (es decir, un a muelle que ejerce una fuerza proporcional a suelongaci´n), de constante k, o sin que existan otras fuerzas aplicadas. Si se denomina x la coordenada de m a lo largo de la recta, el resorte el´stico ejerce una fuerza recuperadora, a que se opone a la elongaci´n, de valor o F = −k(x − x0 ), siendo x0 la que se denomina longitud natural del resorte, para la cual ´ste e quedar´ sin tensi´n. El signo ha de ser negativo puesto que la fuerza del ıa o resortetiene sentido contrario a la elongaci´n, es decir, es una resistencia o interna que se opone a ella. Decimos que se trata de un resorte lineal, porque la fuerza desarrollada en el mismo depende linealmente de la elongaci´n: a doble elongaci´n, doble o o fuerza, y a elongaci´n mitad, la fuerza se divide por dos. o x
E
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Figura 3.1: Oscilador arm´nico simo ple
k
m
Como podemos elegir el origen de coordenadas donde nos plazca, lo haremos en el punto x0 , de forma que la expresi´n de la fuerza del muelle o sea F = −kx. Aplicando el principio de la cantidad de movimiento (2.2), obtenemos la ecuaci´n din´mica de este sistema: o a m¨ = −kx x ⇒ m¨ + kx = 0 x (3.1)
Aptdo. 3.1. El OsciladorArm´nico Simple o
3.3
Se trata de una ecuaci´n diferencial ordinaria con las siguientes caraco ter´ ısticas: de segundo orden, ya que intervienen derivadas segundas; lineal, ya que as´ es la dependencia en relaci´n con la variable x y sus ı o derivadas; de coeficientes constantes, pues supondremos fijos m (masa del sistema) y k (rigidez del resorte); homog´nea, pues la ecuaci´n est´ igualada a...
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