Analisis Funcional

Análisis Funcional y Variable Compleja

Ignacio Villanueva Díez

Índice general
Introducción Capítulo 1. Espacios normados. Espacios de Banach Capítulo 2. Aplicaciones lineales continuas entre espacios normados Capítulo 3. Teoremas de Hahn-Banach 3 7 37 49

Capítulo 4. El Teorema de Baire y sus consecuencias: El Principio de Acotación Uniforme y el Teorema de la Gráfica Cerrada. 75Capítulo 5. Espacios duales y operadores traspuestos Capítulo 6. Topologías débil y débil∗ Capítulo 7. Operadores compactos Capítulo 8. Teoría espectral de operadores compactos Capítulo 9. Espacios de Hilbert 103 119 135 149 171

Capítulo 10. Teoría espectral en espacios de Hilbert: Operadores compactos normales 201 Capítulo 11. Requisitos Capítulo 12. Funciones holomorfas Capítulo 13. Funcionesmeromorfas Capítulo 14. Teorema de la Aplicación abierta Capítulo 15. Topología compacto-abierta Capítulo 16. Funciones Armónicas Bibliografía 219 221 223 225 227 229 231

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Introducción
0.1. El Análisis Funcional. El Análisis Funcional como tal fue surgiendo a principios del siglo XX como el marco abstracto adecuado para solucionar una serie de problemas del Análisis muy importantes en esosmomentos. Desde entonces ha experimentado un gran desarrollo y en este momento es una herramienta muy sofisticada útil para abordar una amplia variedad de problemas. En [11] se puede ver un descripción del proceso histórico que desembocó en la aparición del Análisis Funcional. Incluimos aquí tan sólo una breve descripción de este proceso que nos permita ubicar nuestra materia en el seno de lamatemática. Desde el desarrollo del Cálculo Diferencial, al considerar las soluciones de una ecuación diferencial, se vio que en ocasiones era necesario considerar propiedades del espacio (o conjunto) de soluciones de la ecuación, pero no estaba claro cuál era la estructura que poseía dicho espacio de soluciones. Los trabajos de D. Bernouilli, Lagrange y sobre todo Fourier acerca de la resolución deecuaciones diferenciales se empiezan a enfrentar a problemas que anticipan lo que será el desarrollo posterior del Análisis Funcional. Una de las características comunes a varios de estos procesos era el paso de un problema finito, por ejemplo la solución de un sistema finito de ecuaciones lineales, a la versión infinita del problema, lo que les fuerza a enfrentarse a problemas de convergencia que en esaépoca no eran entendidos. Merece también la pena mencionar los trabajos de Sturm (1836) y Liouville (1837) sobre la solución de ecuaciones diferenciales de la forma y − q(x)y + λy = 0 con ciertas condiciones de contorno, que influyeron notablemente en el desarrollo de la Teoría Espectral. Con el desarrollo del Cálculo de Variaciones aparece ya explícitamente la noción de campo funcional y dedistancia entre funciones y aparecen de forma implícita algunos de los problemas provocados por la
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INTRODUCCIÓN

no compacidad de los conjuntos cerrados y acotados en espacios infinito dimensionales. Uno de los problemas que más influyó en la aparición del Análisis Funcional fue el estudio de las Ecuaciones Integrales. Los trabajos de varios matemáticos en este área llevaron al desarrollo porFredholm de una técnica para solucionar algunos de estos problemas que dio lugar a lo que hoy conocemos como Alternativa de Fredholm. A partir de ese momento la situación estaba suficientemente madura para el comienzo de la cristalización del Análisis Funcional. A principios del siglo XX, Hilbert se interesó por los resultados de Fredholm y se dedicó al estudio de las ecuaciones integrales,publicando una serie de artículos en los que van apareciendo de forma más o menos explícita las nociones de autovalor, ortogonalidad de los distintos autoespacios, y la misma noción de bola unidad de un espacio de Hilbert (obviamente no en esos términos). En el último de dichos artículos, Hilbert abandona el marco de las ecuaciones integrales y da el salto de abstracción que caracteriza al Análisis...