Analisis mate 2

Univ. de Alcal´ de Henares a C´lculo. Segundo parcial. a

Ingenier´ de Telecomunicaci´n ıa o Curso 2004-2005

Diferenciabilidad. 1. Definici´n de funci´n diferenciable o o

Despu´s del estudio de los l´ e ımites de funciones de dos variables retomamos la discusi´n o sobre diferenciabilidad, y aprovechamos para fijar en una definici´n y un teorema lo que hemos o avanzado hasta ahora. Definici´n1 (Funci´n diferenciable). o o  La funci´n z = f (x, y) es diferenciable en el punto p = (x0 , y0 ) si existen unos n´meros A y B o u  tales que   f (x, y) − (f (x0 , y0 ) + A(x − x0 ) + B(y − y0 ))  =0 l´ ım (1)  (x,y)→(x0 ,y0 ) (x − x0 )2 + (y − y0 )2    En ese caso diremos que el plano z = f (x0 , y0 ) + A(x − x0 ) + B(y − y0 ) es el plano tangente a la gr´fica de f en (x0 , y0 ) a Y elteorema es este: Teorema 2.  Para que la funci´n f sea diferenciable en (x0 , y0 ) es necesario que existan sus derivadas parciales o  en ese punto. Y en ese caso el plano tangente es el plano    ∂f ∂f  · (x − x0 ) + · (y − y0 ) z = f (x0 , y0 ) + ∂x (x0 ,y0 ) ∂y (x0 ,y0 ) Por supuesto, se puede usar directamente la definici´n para probar que una funci´n es difeo o renciable en un punto.Para ello: 1. Debemos empezar por calcular las derivadas parciales en ese punto (ya sea mediante las reglas de derivaci´n, o usando la definici´n si no es posible aplicar las reglas). o o 2. Despu´s debemos demostrar que se cumple e f (x, y) −
(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x0 , y0 ) +

l´ ım

∂f ∂x

· (x − x0 ) +
(x0 ,y0 )

∂f ∂y

· (y − y0 )
(x0 ,y0 )

(x − x0 )2 + (y − y0 )2

=0

Veamosun ejemplo elemental de demostraci´n. o Ejemplo 3. La funci´n f (x, y) = x2 + 2y 2 es diferenciable en el punto (x0 , y0 ) = (1, 2). En o efecto, en primer lugar sus derivadas parciales existen y valen ∂f ∂x = 2,
(1,2)

∂f ∂y 1

=8
(1,2)

As´ que el unico candidato posible a ser el plano tangente es ı ´ z = f (1, 2) + ∂f ∂x · (x − 1) +
(1,2)

∂f ∂y

· (y − 2) = 9 + 2(x − 1) + 8(y − 2)(1,2)

y para demostrar que f es diferenciable tenemos que demostrar que se cumple l´ ım (x2 + 2y 2 ) − (9 + 2(x − 1) + 8(y − 2)) (x − 1)2 + (y − 2)2 =0

(x,y)→(1,2)

Para demostrar esto, empezamos por trasladar el problema al origen mediante el cambio de variables u = x − 1, v = y − 2. De esa forma, se trata de demostrar que: ((u + 1)2 + 2(v + 2)2 ) − (9 + 2u + 8v) √ =0 (u,v)→(0,0) u2 + v2 l´ ım y si se desarrollan los par´ntesis se obtiene e u2 + 2v 2 √ =0 (u,v)→(0,0) u2 + v 2 l´ ım Y ahora observamos que |u2 + 2v 2 | ≤ 2(u2 + v 2 ) con lo que u2 + 2v 2 2(u2 + v 2 ) √ ≤ √ = 2 u2 + v 2 u2 + v 2 u2 + v 2

A partir de aqu´ (o tambi´n usando coordenadas polares) se concluye f´cilmente la demostraci´n. ı e a o

1.1.

Una condici´n suficiente de diferenciabilidad o

El m´todoque acabamos de ver para demostrar que f es diferenciable es demasiado laborioso. e Para que nuestro trabajo sea sencillo necesitamos una forma m´s sencilla de establecer que a una funci´n es diferenciable. El teorema que vamos a ver nos proporciona precisamente esa o herramienta, y se basa en una propiedad de continuidad de las derivadas parciales. Teorema 4 (Condici´n suficiente dediferenciabilidad). o  Sea z = f (x, y) una funci´n de dos variables, y p = (x0 , y0 ) un punto en el que queremos o  demostrar que f es diferenciable. Si se puede encontrar una bola B(p, r) tal que las dos derivadas   parciales  ∂f ∂f   ,  ∂x ∂y existen y son continuas en todos los puntos de la bola, entonces f es diferenciable en p. Muchas de las funciones que utilizamos se obtienen a partir defunciones elementales haciendo operaciones sencillas. Puesto que hemos visto que es f´cil demostrar la continuidad de esas a funciones, se puede usar este teorema para analizar la diferenciabilidad de esas funciones. Veamos algunos ejemplos. 2

Ejemplo 5. 1. La funci´n f (x, y) = ex+y cos(xy 2 ) es diferenciable en todo R2 . En efecto, sus derivadas o parciales son las funciones:   ∂f = ex+y...