analisis matematico 2

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL AVELLANEDA

Depto: Materias Básicas.
U.D.B: MATEMÁTICA.
Cátedra: ANÁLISIS MATEMÁTICO II

Derivabilidad

Autor:

Prof. Gabriela Righetti.

Revisión:

Prof. Sandra Barrile.

2011

Análisis Matemático II: Derivadas

DERIVADAS
Recordemos el concepto de derivada para funciones escalares.
Definición: Sea f: A → R , con A⊆ R , ysea x0 interior a A

f(x)

Se llama derivada de f en xo al límite, si existe, del cociente
f (x ) − f (x 0 )
, cuando x → x 0 .
x − x0

P

∆f

f(x0)

Po

Notación: f ’(xo)=Df(xo)=
∆x

dy 
dx  x


0

x

x0

f(x) − f(x0 )
. Como una derivada es un límite pueden darse
x → xo
x − x0
una de estas tres situaciones: que sea un número, que sea infinito o que no exista.Resulta: f '(x 0 ) = lím

Definición: f es derivable en xo si y sólo si existe y es finito el límite para x → x 0
f(x) − f(x 0 )
de
x − x0
Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto
El cociente
s

P

f(x)

∆f
f(x0)

Po

t

∆x
x0

f (x ) − f (x 0 )
(cociente inx − x0

cremental), representa la pendiente de la
recta secante a la curva C,representativa
de la función.
Cuando x → x 0 , el punto P “resbala”
sobre la curva hasta coincidir con P0, la
recta secante alcanza una posición límite
que corresponde a la recta tangente.

x

Entonces, si la recta secante tiende a la recta tangente, y el cociente incremental
tiende a la derivada, resulta que:
La derivada de una función en x0 representa, si existe y es finita, la pendientede la recta
tangente a C en Po.

Prof. Gabriela Righetti

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Análisis Matemático II: Derivadas

1) Para funciones vectoriales
Es posible extender el concepto de derivada a funciones vectoriales. Considerar
mos f : A ⊆ R → R n con n≥2, y t0 punto interior de A
r
Definición: Se llama vector derivado de f en t0 al límite, si existe de:
r
r
r
f(t 0 + ∆t) − f(t 0 )
, cuando ∆t tiendea 0. Se indica f ' ( t 0 ) .
∆t
r
r
r
f(t 0 + ∆t) − f(t 0 )
Resulta: f ' ( t 0 ) = lím
∆t →0
∆t

En la práctica para derivar una función vectorial, se deriva cada una de sus componentes.
r
r
Ejemplo: Si f (t)=(sent; t3 ; 2t+et ), entonces f ’(t)=(cost ; 3 t2; 2 + et)

Recta tangente y plano normal a una curva en R 3
r
Consideramos f : A ⊆ R → R 3 continua. La representacióngráfica del conjunto
imagen es una curva en R 3

z

P

r
r
f ( t 0 + ∆t ) − f ( t 0 )

r
t
P0

r
f ( t 0 + ∆t )
r
f (t0 )

y
x

r
r
Consideremos los puntos P y P0 definidos por f ( t 0 + ∆t ) y por f ( t 0 ) . Entonces el
r
r
vector f ( t 0 + ∆t ) − f ( t 0 ) tiene el módulo y la dirección de la cuerda PP0 . Al dividir
por ∆t y tomar el límite para ∆t→0, el vector derivado,si existe, tendrá la direcProf. Gabriela Righetti

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Análisis Matemático II: Derivadas

ción límite de la de una cuerda cuyo extremo tiende a coincidir con el punto ini→

cial, es decir tendrá la dirección tangente a la curva en P 0.

r
Resulta que la recta tangente a la curva imagen de f(t) en P0, es la recta que tiene
r
la dirección de f '(t 0 ) (si es no nulo) y a la que perteneceP0.

Es decir, una recta cuya ecuación vectorial es:

r
r r
X = f(t0 ) +λ f '(t0 ) con λ ∈ R

o bien ,si fi’(t0)≠0,∀i∈{1,2,3}, se pueden obtener las ecuaciones simétricas:
x − f1 (t 0 ) y − f2 (t 0 ) z − f3 (t 0 )
=
=
f1 '(t 0 )
f2 '(t 0 )
f3 '(t 0 )
Si llamamos πN al plano perpendicular a la recta tangente en P0, es decir al plano
r
normal a la curva asociada a la imagen de f(t), resulta que la ecuación vectorial
de πN es:

r

r

r

( X − f(t )) ⋅ f '(t ) = 0
0

y la ecuación cartesiana:

0

f1’(to).(x- f1(to)) + f 2’(to).(y- f2(to)) + f 3’(to).(z- f3(to)) =0

Definiciones:
-

r
Una curva C es suave si y sólo si existe una función vectorial f : [a,b]→ R 3 ,
r
continua f (t)= (f1(t);f2(t);f3(t)) con C la curva asociada a su imagen, tal que
r...