Analisis Matematico

Republica Bolivariana de Venezuela.
Universidad Pedagógica Experimental Libertador.
IMPM – Núcleo Bolívar.
Catedra: Algebra Lineal.

MATRICES CUADRADAS Y DETERMINANTES.

Profesor: Integrantes:
Franklin, Álvarez.

Ciudad Bolívar – Estado Bolívar.

FUNCIONES MULTILINEALES.
Sea K un cuerpo (por ejemplo K = R o K = C ) y E un espacio vectorial sobre K, de dimensión finita n.Una forma multilineal de En es una aplicación lineal de En hacia K. Como E es isomorfo a Kn, esta aplicación se puede escribir así:
E × E × ... E → K
(v1, v2,... vn) → f(v1, v2, ... vn)
Una aplicación de En es n-lineal si es lineal con relación a todos sus argumentos, es decir, si se hace variar un solo argumento, fijando los demás, la función varía de forma lineal.
Por ejemplo, la linealidadpara con el vector número i se expresa mediante esta fórmula:
f(v1, ... λ·ui + μ·wi , ... vn) = λ·f(v1, ... ui, ... vn) + μ·f(v1, ... wi , ... vn).
Una aplicación de En es alterna si es nula cada vez que hay dos argumentos iguales.
Por ejemplo, si con n = 3; f(u, v, u) = 0 porque el primer y el tercer vector son iguales.
Los determinantes de las matrices pueden ser considerados comofunciones que cumplen cuatro propiedades básicas. En este capítulo se verá que cualquier función del álgebra de matrices cuadradas en el cuerpo que cumpla dichas propiedades es necesariamente la función determinante. La primera lección esta dedicada al estudio de esas propiedades básicas.
Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo , una función multilineal de argumentos sobre el espacio es una funciónque es lineal en cada argumento, es decir, satisface las siguientes condiciones:
a)

,
para cada .
b)

para cada .
D es alternada si cumple la siguiente condición:
c)

para cada Es decir, es alternada si se anula cuando dos argumentos consecutivos coinciden.
Sea una función multilineal alternada de argumentos sobre un espacio . Entonces se puede demostrar fácilmente que satisface lassiguientes propiedades.
d) Si se intercambian dos argumentos de el signo cambia, es decir,
,
para cualquier par
e) Si existe un par tal que , entonces

f) Si a un argumento se le suma otro multiplicado por un escalar, entonces el valor de la función no cambia. Es decir,

para cada par y cada escalar .
g) Si un argumento de es nulo, entonces se anula, es decir,

Sea un espaciovectorial de dimensión finita y sea una base de . Sean y dos funciones multilineales alternadas de argumentos sobre el espacio . si y sólo si

Cualquier función lineal es homogénea de grado 1, puesto que por definición se tiene:

para todo y . Del mismo modo, cualquier función multilineal es homogénea de grado n, por definción.

para todo y . Se sigue que la n-ésima derivada de Fréchet de unafunción entre dos espacios de Banach y es homogénea de grado
La FunciÓn Determinante |
Cada fila de una matriz cuadrada puede considerarse como un vector de de tal forma que se pueden definir funciones multilineales de en . Según la Proposición 1 de la lección anterior, cada función multilineal alternada queda completamente determinada por su acción sobre los vectores de una base. Esto permitedefinir el concepto de función determinante de la siguiente manera.
Sea el álgebra de matrices cuadradas de tamaño y sea la base canónica de . Se define la función determinante como la función multilineal alternada

que satisface la condición , es decir, , donde es la matriz idéntica de orden .
Si , entonces cada fila de puede expresarse en la forma y, de acuerdo a la demostración de laProposición 1, necesariamente se tiene que

es decir,

donde es el conjunto de funciones biyectivas de en si mismo. El signo de la función fue definido en al prueba de la Proposición 1. Cualquier función multilineal alternada de en tal que coincide con la definición anterior de la .
Ejercicio 1. Sea

A partir de la definicón de la función demuestre que

DESARROLLO DE UN DETERMINANTE.
El...