analisis matematico

Introducción
El m´etodo deductivo, muy usado en matema´tica, obedece a la siguiente idea: “ A partir de un cierto conjuntos de axiomas aceptados sin demostracio´n y de reglas lo´gicas no contradictorias, se deducen otros enunciados llamados teoremas combinando los axiomas y respetando en cada etapa las reglas lógicas”.
Otro m´etodo para demostrar resultados generales quedependen en algu´n sentido de los nu´meros naturales es conocido con el nombre de “Inducción mat´ematica”. Esta dependencia de los nu´meros naturales significa: se sabe que una determinada afirmacio´n es verdadera para algunos casos particulares y surge la pregunta. ¿ Dicha afirmacio´n sigue siendo verdadera para los infinitos nu´meros naturales restante ?.

Existen muchas afirmaciones quesolo son va´lidas para un nu´mero finito de casos y en consecuencia son falsas para un nu´mero infinitos de situaciones. Sin embargo, podemos encontrar proposiciones (afirmaciones) que son verdaderas so´lo a partir de un cierto nu´mero natural n0, de ser así, la t´ecnica que se desarrollaremos se llama Induccion Incompleta. Para demostrar que una proposicio´n P(n), ∀n ∈ M ⊆ N, esverdadera es necesario comprobar la validez de ella para todos los elementos del conjunto M . En el caso en que M = N, diremos que es una Induccion Completa.

Si se requiere demostrar la falsedad de una cierta proposicio´n p(n), ∀n ∈ M ⊆ N, es suficiente indicar un elemento particular m ∈ M de manera que p (m) sea falsa.
(Construccio´n de un contra ejemplo).
Ejemplo 1. ∀n ∈ N, n2 − 3n − 1 < 0Es fa´cil probar que esta desigualdad es verdadera para n = 1, 2, 3. Sin embargo, para n = 4 no se cumple ya que 42 − 3 · 4 − 1 = 3 > 0. No´tese que este ejemplo sencillo muestra que una proposicio´n puede ser verdadera para los primeros nu´meros naturales, sin embargo, es falsa, para nu´meros naturales ma´s grandes.
CONJUNTOS ACOTADOS

Llamaremos cota superior de un conjunto A ⊂ Ra todo número k  R tal que x < k, ∀ x A, que sea mayor o igual que los elementos de A se llama “cota superior de A”. Cuando A tiene alguna cota superior, diremos que el conjunto A es acotado superiormente.
Sea A = <- ∞,3> y la cota superior k = 5



Observamos que cualquiera de los números reales mayores que 3 e incluso el 3 es cota superior de A. De todas estas cotas superiores de A, élnúmero 3 es la menor.

Axioma del supremo o axioma de la mínima cota superior.

Todo conjunto A de números reales, no vacío y acotado superiormente, tiene una menor cota superior en R.

Observaciones:

Llamaremos cota inferior de un conjunto A c R a todo número k e R tal que k <, x, V x e A . O sea que cualquier número que sea menor o igual que los elementos de A se llama “cota inferior de A” Cuando Atiene alguna cota inferior, diremos que el conjunto A es acotado inferiormente.
A la mayor de las cotas inferiores de un conjunto A ⊂ R y acotado inferiormente, se le llama ínfimo de A o máxima cota inferior de A y se denota por inf (A).
Un conjunto A se dice que es acotado, si es a la vez acotado inferiormente y superiormente.

Ejemplo:
El conjunto A = [-2,7> esta acotado superiormente por 8 einferiormente por -3, además la mayor cota inferior es -2 y la menor cota superior es 7 por lo tanto: Sup(A) = 7 y Inf(A) = -2 de donde Sup(A) ∉ A, Inf(A)  A
Cuando en un conjunto A se tiene que Sup(A) e A entonces el Sup(A) también se le llama el máximo de A y si el Inf(A)  A entonces al ínfimo de A también se le llama el mínimo de A.

Principio Arquimediano

Si x es un número real positivoentonces existe un número natural n0

tal que 0 <  < x (o equivalentemente tal que x > n0 )

Demostración:
Demostraremos por el absurdo. Suponiendo que nx < 1, ∀ n  N Por lo tanto el conjunto A= {nx / n e N) está acotado superiormente al menor por k = 1, y por el axioma del supremo el conjunto A posee una menor cota superior k (Sup A) en R que satisface la condición nx < k < 1, ∀ n e N...