analisis

Matriz de una transformación lineal respecto de dos bases.
Dadas una t.l. T: U  V y bases U = {u1, ... , un} de U y V = {v1, ... , vm} de V, si las coordenadas, respecto de la base vde V, de las imágenes de los vectores de la base U de U son, respectivamente:

[T(u1)]= (quiere decir: T(u1) = a11v1 + ... + am1vm)

[T(u2)]= (quiere decir: T(u2) = a12v1 + ... +am2vm)



[T(un)]= (quiere decir: T(un) = a1nv1 + ... + amnvm),

entonces, conocidas las coordenadas de un vector u  U respecto de la base U de U, las coordenadas respecto de la baseV de V de la imagen por T de este vector u se pueden calcular, pues:

Si (u)= (quiere decir: u = 1u1 + ... + nun), entonces

T(u) = T(1u1 + ... + nun) = 1 T(u1) + ... + n T(un)=
1 (a11v1 + ... + am1vm) + ... + n (a1nv1 + ... + amnvm) =
(1 a11 + ... + n a1n) v1 + ... + (1 am1 + ... + n amn) v1, de donde las coordenadas de T(u) respecto de la base V de V son:[T(u)]= = 1 + ... + n = y la

matriz de T respecto de las bases U y V es:

[ T ] = . Note que esta matriz tiene la propiedad:

[ T ](u)= [T(u)] y que sus columnas son[T(u1)], ... , [T(un)] en ese orden.
Ejemplos:
i) Si T: IRn  IRm es una t.l., que a cada (x1, ... , xn)  IRn asigna por imagen
T(x1, ... , xn) = (a11x1 + ... + a1nxn, ... , am1x1 +... + amnxn)  IRm, entonces la
matriz de T respecto de las bases canónicas de IRn y IRm (en este caso se
dice simplemente la matriz de T) es:

AT= , exactamente como lo habíamos estudiado en la clase

anterior.

Ejemplo concreto:

Sea T : IR3  IR2 la t.l. que a cada vector v = de IR3 asigna por imagen . Yasabemos que la matriz de T es

Si queremos determinar la matriz de esta t.l. respecto de otras bases de IR3 y IR2 procedemos como a continuación se explica en el siguiente ejemplo....