Analisis

Notas de ´ ANALISIS FUNCIONAL

G. Corach

E. Andruchov
1997

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El presente es un resumen de los apuntes de la materia An´lisis Funcional (materia a obligatoria de la carrera Licenciatura en Cs. Matem´ticas, orientaci´n pura, del Depto. a o de Matem´ticas de la FCEyN, UBA), dictada por los profesores Dr Gustavo Corach a y Dr Esteban Andruchov durante el primer cua-trimestre del a˜o1996. n

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Espacios normados I.1 Norma y seminorma . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.1 Algunos ejemplos de espacios normados . I.2 El lema de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3 Clausura e hiperplanos . . . . . . . . . . . . . . . I.3.1 Los espacios c0 y c . . . . . . . . . . . . . I.4 Equivalencia de espacios normados . . . . . . . . I.5 El espacio dual y el teorema deHahn-Banach . . I.6 Operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . I.6.1 Producto de operadores . . . . . . . . . . I.6.2 Ejemplos de operadores lineales acotados I.6.3 El operador adjunto . . . . . . . . . . . . I.7 Espacios normados de dimensi´n finita (1o parte) o I.8 Teorema de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . .

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II Espacios de Banach II.1 Definiciones . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.1 Ejemplos de espacios normados completos . . . . . . II.1.2 Sucesiones absolutamente sumables . . . . . . . . . . II.2 Completaci´n y el teorema de extensi´n . . . . . . . . . . . o o II.3 El espacio de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.1 Un caso particular: el dual como espacio de Banach II.4 El teorema de Baire y susaplicaciones . . . . . . . . . . . . II.5 Espacio cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.5.1 Los espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.6 Espacios normados de dimensi´n finita (2o parte) . . . . . . o II.7 Bases en espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Espacios de Hilbert III.1 Conceptos B´sicos . . . . . . . . . . . . . a III.1.1Generalidades y ejemplos . . . . . . III.1.2 Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . III.1.3 Teorema de Representaci´n de Riesz o III.1.4 Sistemas Ortonormales y Bases . . . III.2 Operadores Acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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III.2.1 Generalidades y ejemplos . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 119 III.2.2 El adjunto de un operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 III.2.3 Teor´ Espectral en Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 128 ıa IV Ap´ndice A: Sistemas de Sturm-Liouville e 135 IV.1 El problema de la cuerda vibrante - Un ejemplo importante. . . . . . . . . . 135 IV.2 El problema de Sturm-Liouville en una variable . . . . . . . .. . . . . . . . 137 ´ V Algebras de Banach V.1 Generalidades, espectros e ideales . . . . . . . V.1.1 Ejemplos de ´lgebras de Banach: . . . a ´ V.2 Algebras abelianas y el espectro de caracteres V.3 La transformada de Gelfand . . . . . . . . . . V.4 Teorema de la aplicaci´n espectral . . . . . . o V.5 F´rmula del radio espectral . . . . . . . . . . o V.6 El espectro y la distancia Haussdorff . ....