Analisis





MATERIA: ANALISIS MATEMATICO 2






NOMBRES: DAVID QUIZHPI, BRYAM QUIZHPE, GABRIEL CAMACHO






PROFESOR: ING. JHISON ROMERO







CARRERA: ING. BIOTECNOLOGIA











METODO ANULADOR (Operador Diferencial)

Pasemos a analizar el caso general de la ecuación lineal completa con coeficientes constantes d ny dx n + an−1 d n−1y dx n−1 + . . . + a1 dy dx + a0y = F(x) con a0, . . . an−1 ∈ R(y F(x) continua).
En forma abreviada, L(y) = F(x).
A partir de un sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada y aplicando el método de variación de constantes, se puede encontrar una solución particular de esta ecuación, con lo que se tendría su solución general.
Sin embargo, cuando el término independiente F(x) tiene la propiedad de que se anula bajo la acción de algúnoperador con coeficientes constantes, hay un método alternativo al de variación de constantes que permite obtener una solución particular de la ecuación lineal completa. Este procedimiento recibe el nombre de método del anulador o también de la conjetura prudente.
Sea L(y) = F(x) una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes (y F(x) continua).
Si K ≡ K(D) es un operador diferencialcon coeficientes constantes que anula F(x), entonces una solución particular de la ecuación se obtiene resolviendo la ecuación lineal homogénea.

(K ◦ L) (y) = 0
Basta observar que si K(F(x)) = 0 entonces
K(F(x)) = K(L(y)) = (K ◦ L) (y) = 0

Casos particulares:
1. F(x) = e αx(bpx p + . . . + b1x + b0).

Hay dos opciones:
(a) Si α no es raíz del polinomio característico entonces una soluciónparticular es de la forma yP (x) = e αxP p (x)
donde P p (x) es un polinomio de grado p.

(b) Si α es raíz del polinomio característico y tiene multiplicidad µ entonces una solución particular es de la forma
yP (x) = x µ e αxP p (x)
donde P p (x) es un polinomio de grado p.

2. F(x) = cos αx (bpx p + . . . + b1x + b0) ´o F(x) = sin αx(bpx p + . . . + b1x + b0).
Hay dos opciones:
(a) Si αi noes raíz del polinomio característico entonces una solución particular es de la forma
yP (x) = cos αxP p 1 (x) + sin αxP p 2 (x)
donde P p 1 (x),P p 2 (x) son polinomios de grado p
(b) Si αi es raíz del polinomio característico y tiene multiplicidad µ entonces una solución particular es de la forma

yP (x) = x µ (cos αxP p 1 (x) + sin αxP p 2 (x))
donde P p 1 (x),P p 2 (x) son polinomios degrado p.
2. F(x) = e αx cos βx(bpx p + . . . + b1x + b0) ´o F(x) = e αx sin βx(bpx p + . . . + b1x + b0).

Hay dos opciones:
(a) Si α + βi no es raíz del polinomio característico entonces una solución particular es de la forma
yP (x) = e αx(cos βxP p 1 (x) + sin βxP p 2 (x))
donde P p 1 (x),P p 2 (x) son polinomios de grado p.
(b) Si α+βi es raíz del polinomio característico y tienemultiplicidad µ entonces una solución particular es de la forma
yP (x) = x µ e αx(cos βxP p 1 (x) + sin βxP p 2 (x))

donde P p 1 (x),P p 2 (x) son polinomios de grado p.




METODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS
La variación de parámetros, también conocida como variación de constantes, es un método general para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.
Para ecuaciones diferenciales lineales nohomogéneas de primer orden usualmente es posible encontrar soluciones por factor integrante o por coeficientes indeterminados con considerablemente menos esfuerzo, sin embargo, estos métodos son influenciados por heurísticas que involucran adivinar además de que no funcionan con todas las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

Consideremos la ecuación diferencial lineal completaDonde:


Supóngamos que la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea viene dada por:

Donde:

Son funciones en la variable x que se determinan resolviendo el sistema

El proceso se resume en los siguientes pasos:
1. Se calcula forma estándar de la ecuación diferencial, para que el coeficiente de y” sea uno.
2. Resolvemos la ecuación homogénea y obtenemos las raíces de la ecuación...