analisis2

Parte I
Diferenciabilidad de funciones de
Rn en R
1.
Derivadas Parciales
Recordemos que para funciones de una variable f : I ⊂ R → R definida en el
intervalo abierto Ide R, se define la derivada de f en x0 ∈ I, denotada por f ′ (x0 ),
como el valor del l ́
ımite
f (x0 + h) − f (x0 )
f ′ (x0 ) = l ́
ım
h→0
h
cuando ́ste existe (encuyo caso decimos que f es derivable en dicho punto). Adem ́s
e
a
sabemos que si f ′ (x0 ) existe, su valor nos da la pendiente de la recta tangente a la
gr ́fica de la funcín f de expresi ́n y = f (x) en el punto (x0 , f (x0 )).
a
o
o
Resulta deseable, disponer de un concepto similar para funciones de varias va-
riables, comencemos porconsiderar la siguiente definici ́n.
o
Definici ́n 1.1. Dada una funci ́n de dos variables f : U ⊂ R2 → R definida en
o
o
2
̊
un conjunto U de R . Sea a = (x0 , y0 ) un puntode U . Se define la derivada parcial
de f con respecto a x (la primer variable de f ) en el punto a denotada por ∂f (a) (o
∂x
′
′
fx (a) o simplemente fx (a) o f1 (a) oD1 f (a)), como el l ́
ımite
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
∂f
(a) = l ́
ım
h→0
∂x
h
cuando ́ste l ́
e
ımite existe. Del mismo modo la derivada parcial de f conrespecto a
′
′
y (la segunda variable de f ) en a denotada por ∂f (a) (o fy (a) o f2 (a) o D2 f (a)), es
∂y
el l ́
ımite
∂f
f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 )
(a) = l ́
ımh→0
∂y
h
siempre que exista.
An ́logamente, se definen las funciones derivadas parciales de f respecto a x e y
a
como
f (x + h, y) − f (x, y)
∂f
(x, y) = l ́
ım
h→0
∂xh
∂f
f (x, y + h) − f (x, y)
(x, y) = l ́
ım
h→0
∂y
h
1
cuyos dominios de definici ́n est ́n formados por todos los puntos a = (x, y