angulos

C´lculo del rango de matrices
a
Objetivos. Aprender a calcular el rango de matrices.
Requisitos. Definici´n y propiedades del rango de una matriz, eliminaci´n de Gauss,
o
o
matrices escalonadas y pseudoescalonadas.

1. M´todo. Sabemos que el rango de una matriz no se cambia al aplicar operaciones
e
elementales por renglones, y el rango de una matriz ecalonada o pseudoescalonada porrenglones es igual al n´mero de sus renglones no nulos. Por eso, para calcular el rango de
u
una matriz, la transformamos (haciendo operaciones elementales por renglones) en una
matriz escalonada o pseudoescalonada. Tambi´n podemos transformarla con operaciones
e
elementales por columnas en una matriz pseudoescalonada por columnas.

2. Ejemplo. Calculemos el rango de la

2
 3
A=
3siguiente matriz:

−3
3 −1
−4 10 −7  .
−5 −1
4

Primera soluci´n. En el primer paso usamos como pivote el elemento A1,4 :
o




2 −3
3 −1
2 −3
3 −1
R2 += −7R1
R += 4R1
R += R
0 .
17 −11
0  −3− − 2  −11 17 −11
A − − − −  −11
−3 − − →
−−→
0
0
0
0
11 −17
11
0
La ultima matriz B es pseudoescalonada por renglones: en cada rengl´n no nulo hay una
´
o
entradano nula tal que todas las entradas por debajo de esta (en la misma columna)
son cero. El rango de B es igual el n´mero de sus renglones no nulos: r(B) = 2. Como
u
el rango de una matriz no se cambia al aplicar operaciones elementales por renglones,
r(A) = r(B) = 2.
Segunda soluci´n. Se sabe que r(A) = r(A ). Haciendo operaciones elementales por reno
glones transformemos la matriz A en unamatriz pseudoescalonada:






R1 ↔R4
R1 += 2R4
2
3
3
0 −11
11
−1 −7
4
R3 += 11/17R2
3 += −3R
 −3 −4 −5  RR3 += R4 4  0
17 −17  R4 += 11/17R2  0 17 −17 

 −− − − 
−−−−→
.
−−−− 
 3 10 −1  − − − →  0 −11
11 
0
0
0 
−1 −7
4
−1 −7
4
0
0
0
C

A

De aqu´ r(A) = r(A ) = r(C) = 2.
ı
C´lculo del rango de matrices, p´gina 1 de 4
a
aTercera soluci´n. Esta vez usamos la entrada A1,1 = 2 como pivote:
o
R2 += − 3 R1
2
R3 += − 3 R1
2






2
−3
3
−1
2 −3
3
−1
R += R
1/2
11/2 −11/2  −3− − 2  0 1/2 11/2 −11/2  .
A−− − −  0
− − −→
−−→
0 −1/2 −11/2
11/2
0
0
0
0
Hemos transformado la matriz A en una matriz escalonada D, y D tiene dos renglones
no nulos. Por lo tanto, r(A) = r(D) = 2.
Cuartasoluci´n. Aplicamos operaciones elementales por columnas, usando A1,4 = −1
o
como pivote:
C1 ↔C4



C3 += 11/17C2
−1
0 0 0
0
0
0 −1
C4 += 11/17C2
17 0 0  .
17 −11 −7  − − − − →  −7
A − − − −  −11
− − −→
−−−−
4 −17 0 0
11 −17
11
4
C1 += 2C4
C3 += −3C4
C3 += C4



La ultima matriz es pseudoescalonada por columnas, esto es, en cada columna no nula hay
´
una entrada nonula tal que todas las entradas a la derecha (del mismo rengl´n) son cero. El
o
rango de esta matriz E es igual al n´mero de sus columnas no nulas: r(A) = r(E) = 2.
u
3. Ejemplos. Calcular el rango de cada una de las siguientes matrices:




−1 −1
1
2
1 −1
2 3 1
 1

2 −2 −2 

 3
0 −1 0 2  .
,
 0
1 −1
0 
2
0
1 0 0
1
3 −3 −2

4. Ejercicios. Calcule el rango decada una de las siguientes matrices:




1
1
0
3
1
0
2 −1 2
 −1
 3 −1
2
3
3 −4 
2 3 

,

.
 2
 1
1 −1
4
3 
2 −1 2 
1 −1 −2 −1
3
3
3
0 7

C´lculo del rango de matrices, p´gina 2 de 4
a
a

5. Ejemplo. Para matrices de peque˜os tama˜os a veces est´ claro sin c´lculos cu´l es
n
n
a
a
a
su rango. Calculemos los rangos de las siguientesmatrices:




1 −5
4
3 −1 4 7
3 −2 7
5 0 6 ,
A=
,
B =  −2 10 −8  ,
C= 3
4
5 1
3
4
7
0
7 0 8



3 −1
4
1 −4  ,
D =  −3
6 −2
8




7 −1
5 ,
E= 2
4 −3




4 7 0
F =  −3 0 0  .
8 7 5

Soluci´n.
o
1. La matriz A tiene dos filas no nulas, y ninguna de estas filas es m´ltipla de otra,
u
por eso r(A) = 2.
2. En la matriz B la primera fila...