Anillos

Cap´
ıtulo

7
Anillos
7.1

Definiciones B´sicas
a

El concepto de Anillo se obtiene como una generalizaci´n de los
o
n´meros enteros, en donde est´n definidas un par de operaciones, la
u
a
suma y el producto, relacionadas entre si por una ley de distributividad.
Los anillos pues son estructuras algebraicas m´s completas que los
a
grupos, pero sin embargo en el estudio de suspropiedades m´s ima
portantes, nos apoyamos a lo largo de toda la exposici´n en nuestra
o
experiencia con los grupos. La razon para esto es muy simple, pues
todo anillo es un grupo en si mismo.!
Definici´n 7.1.1 Un anillo R es un conjunto no vac´ en donde est´n
o
ıo
a
definidas un par de operaciones llamadas suma y producto, las cuales
denotamos por + y · respectivamente.
Estas operacionessatisfacen cada una de las propiedades siguientes:
1) Para todo a, b ∈ R, se tiene que a + b y a · b est´n en R.
a
2) Para todo a, b, ∈ R se tiene que
a + (b + c) = (a + b) + c
3) Existe un elemento 0 en R, el cual llamaremos cero, tal que
a + 0 = 0 + a = a para todo a en R.
4) Para todo a en R, existe otro elemento en R, denotado por −a, el
cual llamamos el opuesto de a y que verifica
a +(−a) = −a + a = 0
5) Para todo a, b en R se tiene
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Cap´
ıtulo 7. Anillos

a+b=b+a
6) Para todo a, b y c en R se satisface
a · (b · c) = (a · b) · c
7) Para todo a, b y c en R se satisface
a · (b + c) = a · b + a · c
( a + b) · c = a · c + b · c

Observaci´n: De acuerdo a las propiedades 1-5 de la definici´n, se
o
o
tiene que todo anillo es un grupo abeliano bajo la suma.Definici´n 7.1.2 Sea R un anillo y supongamos que existe un eleo
mento 1 ∈ R tal que
a·1=1·a=a

para todo a en R.

Entonces el anillo R se dice anillo unitario o anillo con unidad.
Definici´n 7.1.3 Sea R un anillo. Si para todos a y b en R se tiene
o
ab = ba
entonces diremos que R es un anillo conmutativo.
Definici´n 7.1.4 Sea R un anillo, un elemento a ∈ R se dice invero
tible, si existeotro elemento a−1 ∈ R tal que
a · a−1 = a−1 · a = 1.

7.1. Definiciones B´sicas
a

147

Definici´n 7.1.5 Un anillo de divisi´n es un anillo con unidad, en
o
o
donde todos los elementos distintos de cero son invertibles.
Definici´n 7.1.6 Un cuerpo es un anillo conmutativo con unidad, en
o
donde todos los elementos distintos de cero son invertibles.
Observaci´n: Existen anillos dedivisi´n no conmutativos y por ende
o
o
no cuerpos. Ver problema 13.
Veamos a continuaci´n una serie de ejemplos de anillos
o
Ejemplo 1: El conjunto Z de los n´meros enteros, con las operaZ
u
ciones de suma y producto es un anillo conmutativo con unidad.
Ejemplo 2: El conjunto Z m de enteros m´dulo m, con la suma y
Z
o
producto m´dulo m es un ejemplo de anillo conmutativo con unidad, el
ocual es finito. La suma y el producto m´dulo m se definen de la forma
o
siguiente:
Para [a], [b] en Z m se tiene
Z
[a] + [b] = [a + b]
[a][b] = [ab]
Ejemplo 3: Si p es un n´mero primo, entonces los enteros m´dulo
u
o
p, denotado por Z p , es un cuerpo. Para verificar esto, basta observar
Z
que si [a] = [0] en Z p , entonces p | a y por lo tanto p y a son primos
Z
relativos.
Luegoexisten enteros x e y tales que
a·x+p·y =1
Luego
a · x ≡ 1 mod p.
Por lo tanto en Z p se tiene que
Z

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Cap´
ıtulo 7. Anillos

[a] · [x] = [1]
de esto se sigue que el elemento [a] es invertible.
Ejemplo 4: Sea I = [0, 1] el intervalo cerrado de n´meros reales y
u
sea R el conjunto de funciones de I en los n´meros reales.
u
Si f y g son dos funciones, la suma y el producto deellas se define
por:
(f + g )(x) = f (x) + g (x)
(f · g )(x) = f (x) · g (x)
Entonces es f´cil verificar que R es un anillo con este par de operaa
ciones. Adem´s R posee unidad y R es un anillo conmutativo.
a
Ejemplo 5: Sea R el conjunto de matrices cuadradas de orden 2 × 2
con coeficientes reales. Los elementos de R son de la forma:


A=

a11 a12




a21 a22

donde aij ∈ R, 1...