Anova

ANALISIS DE VARIANZA (ANOVA)
Condiciones para el uso de ANOVA
Para utilizar el ANOVA de forma satisfactoria deben cumplirse tres tipos de
hipótesis, aunque se aceptan ligeras desviaciones de las condiciones ideales:
Independencia de los errores
Se consigue si los sujetos son asignados aleatoriamente, es decir si los elementos de los distintos grupos han sido elegidos por muestreoaleatorio.
Normalidad
Se supone que los errores experimentales se distribuyen normalmente., lo que supone que cada una de las puntuaciones Yi.i se distribuirá normalmente.
Las varianzas de cada conjunto de datos no deben diferir de forma significativa (homogeneidad de varianzas)
σ12=σ22=…=σk2
Procedimiento
El ANOVA se basa en la comparación de dos estimaciones diferentes de la varianza de lapoblación mediante una prueba de hipótesis:
H0:µ1= µ2= …= µn
H1: µ1≠ µ2≠…≠ µn
Para probar la hipótesis:
Se determina una estimación de la varianza de la población a partir de la varianza entre las medias de las muestras (intervarianza)
Se determina una segunda estimación de la varianza de la población desde la varianza dentro de las muestras (intravarianza)
Se compara estas dos estimaciones.Si tienen un valor aproximado, provienen de la misma población.
ANOVA con un factor
Se tienen “k” diferentes niveles de un factor que se desean comparar. La respuesta observada para cada nivel es una variable aleatoria.

Observación

Y11 Y12 Y13 … Y1n
Y21
Y22 Y23 … Y2n
Y31 Y32 Y33 … Y3n
: : : : :
Yk1 Yk2 Yk3 … ykn


El modelo estadísticopara representar cada observación de la tabla está dado por:
Yij=µ+τi+εij

Donde: i= 1, 2, …, k tratamientos
J= 1, 2, …, n niveles
µ= Parámetro común a todos los tratamientos (media global)
τi= Parámetro asociado al i-ésimo tratamiento (el efecto del tratamiento i)
εij=Error aleatorio del proceso de muestreo
Primer paso: Se desea probar la igualdad delos efectos de los “k” tratamientos.
H0: τi = τ2= …= τk=0
H1: τi≠0 para al menos una “i”
Si H1 es ciera entonces: yij=µ+εij (la variable de respuesta no se ve afectada por el factor investigado)
Segundo paso: El investigador fija su nivel de riesgo:
α=α0
Tercer paso:
Aquí se muestra la tabla de cálculos para este tipo de análisis de varianza.
Fuente de variación Suma de cuadradosGrados de libertad Media cuadrada Razón F
Entre tratamientos SSTr k-1 MS_Tr=(SS_Tr)/(k-1) F=(MS_Tr)/MSE
Error muestral SSE N-k MSE=SSE/(N-k)
Total SST N-1
El estadístico de prueba es la F de Fisher, puesto que se están relacionando dos varianzas. Las ecuaciones para hallar este valor son:
SST=(∑_(i=1)^k▒∑_(j=1)^n▒〖y_ij^2-〗 T^2)/N
〖SS〗_Tr=∑_(i=1)^k▒〖(T_i^2)/n_i -〗 T^2/N donde:T^2=(〖∑_(i=1)^k▒∑_(j=1)^n▒y_ij )〗^2 T_i=∑_(j=1)^n▒y_ij
SSE=SST-SSTr
 Cuarto paso
Fa,k-1,N-k F
Quinto paso: Se realiza la decisión con base en la regla establecida

ANOVA con dos factores sin interacción
Aquí se supondrá que el experimentador tiene a su disposición mediciones de “a” tratamientos distribuidos en “b” bloques. Se supone que hay exactamente una observación de cadatratamiento en cada bloque.

Bloques
B1
B2 B3 … Bb Medias
Y11
Y12 Y13 … Y1b
Y21 Y22 Y23 … Y2b
Y31 Y32 Y33 … Y3b
: : : … :
Ya1 Ya2 Ya3 … yab

El modelo para el análisis de esta clase de experimento es:

Yij=µ+αi+βj+εij

Donde: i= 1, 2, …, a tratamientos
J= 1, 2,…, b bloques

µ= Parámetro común a todos los tratamientos (mediaglobal)
αi= Parámetro asociado al i-ésimo tratamiento (efecto del tratamiento “i”)
βj= Efecto del j-ésimo bloque
εij= Error aleatorio del proceso de muestreo

Primer paso.
Se desea probar la igualdad de los efectos de los “a” tratamientos:
H0=α1= α2= …= αk=0
H1=α1≠0 para al menos una “i”
También probar la igualdad de los efectos de los “b” bloques
H0: β1= β2=…= βk=0
H1: βj≠0...