anova

DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA
INFERENCIA
M.V.H

COMPARACION DE VARIAS MEDIAS POBLACIONALES
ANALISIS DE VARIANZA DE UN FACTOR
Hasta el momento hemos tratado el problema de comparar las medias de dos poblaciones. La
idea ahora es generalizar la comparación de medias de k poblaciones. Supongamos entonces que
disponemos de k muestras aleatorias independientes, cada una de tamaño ni , parai=1,...,k y

hemos calculado las distintas medias muestrales para cada una de ellas:  1 ,  2 ,...,x k .
x x
Cuando varias medias muestrales exhiben valores diferentes, los investigadores tienen interés en
explorar si todas estas muestras provienen de poblaciones con la misma media, o si cada una de
las k muestras se obtiene de una población dada y que las medias de las k poblaciones noson
todas iguales.Así se quiere probar:
H0 : .1 = .2 = ....=.k
vs.
H1 : algún .i distinto.
Si el análisis estadístico permite aceptar el primer caso, entonces las diferencias observadas entre
las medias muestrales, se deben sólo a fluctuaciones del muestreo y, por lo tanto, no son
significativas. En cambio, si el análisis no permite aceptar igualdad de medias, las diferencias
entre lasdiversas medias muestrales son significativas, esto es se rechaza la hipótesis que
.1 =.....=.k .
El procedimiento usado para probar igualdad de medias de varias poblaciones normales se
denomina Análisis de Varianza (nombre que parece errado ya que queremos probar igualdad de
medias). Este procedimiento involucra una separación de una varianza total en piezas o partes:
varianza intra(dentro) y varianza inter (entre) y luego decide aceptar o rechazar la igualdad de
medias basándose en la magnitud relativa de estas partes.
Supongamos que disponemos de k muestras aleatorias independientes, cada una de tamaño ni
i=1,2,..,k .Para poder llevar a cabo la prueba de igualdad de medias necesitamos que se
satisfagan los dos supuestos siguientes:
1) Cada una de las muestras se obtienende una población con distribución normal y ,
2
2
2
2) Las k poblaciones tienen la misma varianza, esto es 51 = 52 = ......= 5k .

Sea :

H0 : .1 = .2 = ....=.k
vs.
H1 : algún .i distinto.

La decisión de rechazar o no H! se hará con el estadístico
F=

Varianza inter-muestras
Varianza intra-muestras

1

DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA
INFERENCIA
M.V.H

donde la varianzainter y la varianza intra son dos estimaciones de la varianza común 5# Þ
Si la disparidad entre estas dos estimaciones es considerable, la hipótesis nula es rechazada y las
diferencias entre las diversas medias muestrales son consideradas significativas.
Si la hipótesis nula es verdadera, esperamos que las dos estimaciones para la varianza
poblacional estén razonablemente cercanas y por lotanto se espera que la razón F sea cercana a
1, en cambio, si las k medias son diferentes, la varianza inter-muestras será mayor que la
varianza intra-muestras. Esto debido a que la varianza intra-muestras es una estimación insesgada
de la varianza poblacional sin importar si H0 es verdadero o no, en cambio el valor esperado de
la varianza inter-muestras consiste de la varianza poblacional másuna varianza adicional que
refleja la diferencia entre las k poblaciones. Esto es, los valores esperados de las dos
estimaciones de la varianza 52 son:
E[Varianza intra-muestras] = 52
k

E[Varianza inter-muestras] = 5 + " ni
2

i=1

(.i -.)2
k"

Así, cuando las k poblaciones difieren en lo que respecta a su media, se espera que la razón F sea
mayor que 1; además, mientras mayorsea la diferencia entre las diversas muestras, mayor será la
razón F.
Por lo tanto, con un nivel de significación !, se rechazará
H0 : .1 = .2 = ....=.k

si

F >F1-! (r1 , r2 ).

Fórmulas
k= N° de poblaciones en estudio (N° de muestras)
k

ni = Tamaño de la muestra i, i=1,2,...,k

"ni = n.

;

i=1
ni

k

! !Xij
.=
s

Estimador de la media :

i=1 j =1
k...