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Geodesia Matemática.
E. Calero
Versión 1.0
31-01-2005
Madrid
Parte II
Geometría del elipsoide de revolución
II-1

2.- GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
ECUACIONES
2.1 Ecuaciones paramétricas
2.2 Ecuación cartesiana.
CURVAS CONTENIDAS EN UNA SUPERFICIE (ELIPSOIDE)
2.3 Vector tangente a una curva sobre el elipsoide.
2.4 Longitud de un arco elemental de curva ds.
(Primera FormaCuadrática Fundamental)
2.5 Longitud de un arco de curva entre dos puntos
2.6 Vector unitario tangente a una curva.
2.7 Curvatura de una curva contenida en la superficie.
NORMALES
2.8 Dirección de la normal a la superficie en un punto.
2.9 Posición relativa de las normales en dos puntos del elipsoide de
revolución.
2.10 Intersección de la normal al elipsoide con el eje OZ.
2.11 Seccionesnormales recíprocas.
COORDENADAS GEODÉSICAS
2.12 Coordenadas geodésicas.
2.13 Vector unitario de la dirección de la normal en un punto P en
coordenadas geodésicas.
2.14 Primera forma cuadrática fundamental del elipsoide de revolución
en coordenadas geodésicas.
2.15 Curvatura normal en función de las coordenadas geodésicas (φ, λ)
2.16 Teorema de Meusnier.
2.17 Cálculo de la curvaturatangencial o geodésica.
GEODÉSICAS
2.18 Geodésicas.
2.19 Ecuación diferencial de las geodésicas.

2.20 Ecuación diferencial de las geodésicas en el elipsoide de revolución.
2.21 Teorema de Clairaut.
2.22 Sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden equivalente a la
ecuación de segundo orden de las geodésicas del elipsoide de revolución.

2.- GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.ECUACIONES
Superficie engendrada al girar una elipse situada en el plano OZY alrededor del eje
OZ.
2.1 Ecuaciones paramétricas:
X = OP = (a cos u cos v, a cos u sen v, b sen u)
x = a cos u cos v
y = a cos u sen v
z = b sen u

(2.1)

u, v son parámetros independientes
a semieje mayor
b semieje menor

Una relación funcional f(u, v) = 0 determina una curva sobre la superficie.
Así f(u,v) ≡ u – u0 = 0 representa, junto con las ecuaciones paramétricas. la
circunferencia determinada por la intersección del elipsoide con el plano z = b sen u0,
un paralelo.
f(u, v) ≡ v – v0 = 0 representa, junto con las ecuaciones paramétricas, una elipse
determinada por la intersección del elipsoide con el plano y – tan v0 x = 0. El eje OZ es
un eje de simetría de esta elipse.
2.2 Ecuacióncartesiana.
Eliminando los parámetros u y v, resulta la ecuación
x2 y 2 z 2
+
+
=1
a 2 a 2 b2

(2.2)

Se define el achatamiento por f = (a – b)/a, ⇒ b/a = 1 – f,
El cuadrado de la excentricidad e2 = (a2 – b2)/ a2 ⇒

b = (1 – f) a

e2 = 2 f – f2

(2.3)
(2.4)

El cuadrado de la segunda excentricidad e’2 = (a2 – b2)/ b2 ⇒ e2 = (1 – f)2 e’2 (2.5)

CURVAS CONTENIDAS EN UNASUPERFICIE (ELIPSOIDE)
2.3 Vector tangente a una curva sobre el elipsoide.
Si f(u, v) = 0 define una curva sobre el elipsoide, sea X el vector de posición de un
punto P de esta curva, un vector en la dirección de la tangente a la curva en el punto P,
dX, es
dX = Xu du + Xv dv

fu du + fv dv = 0

X = (x, y, z) ,

(2.6)

x2/a2 + y2/a2 + z2/b2 = 1
2.4 Longitud de un arco elemental de curva dsds2 = dX.dX = (Xu du + Xv dv).( Xu du + Xv dv)
ds2 = (Xu.Xu) du2 + 2 (Xu.Xv) dudv + (Xv..Xv) dv2
ds2 = E du2 + 2 F dudv +G dv2

(2.7)

Esta expresión se denomina Primera Forma Cuadrática Fundamental de la superficie
y define una métrica sobre ella.
En el caso de la representación paramétrica (2.1), resulta
Xu = ( -a sen u cos v, -a sen u sen v, b cos u)
Xv = ( -a cos u sen v, a cos u cosv, 0)

.
F = (X .X ) = 0
G = (X .X ) = a

E = (Xu Xu) = a2 sen2 u + b2 cos2 u
u

v

v

v

2

cos2 u

ds2 = (a2 sen2 u + b2 cos2 u) du2 + a2 cos2 u dv2

(2.8)

2.5 Longitud de un arco de curva entre dos puntos
s = ∫ (E du2 + 2 F dudv +G dv2)1/2
fu du + fv dv = 0,

f(u0, v0) = 0,

con
f(u1, v1) = 0

2.6 Vector unitario tangente a una curva.
Cuando el parámetro que...