apendice 2 sala.i.marti
Páginas: 5 (1051 palabras)
Publicado: 16 de febrero de 2014
APENDICE 2 SALA.I.MARTIN
OPTIMIZACIÓN DINÁMICA: LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO.
En los años setenta los economistas empezaron a utilizar métodos dinámicos (Ramsey y Hotelling utilizaron el método en los años veinte). Conocida con el nombre de cálculo de variaciones por los matemáticos clásicos. Se perfecciono a través de 1) programación dinámica, útil para solucionar problemas estocásticos detiempo discreto; desarrollado por el matemático Richard Bellman, y 2) control optimo, basada en el hamiltoniano, útil para cuando una de las restricciones es una ecuación diferencial, desarrollado por matemáticos liderados por L. Pontryagin.
EL PROBLEMA TÍPICO
El agente económico debe controlar una serie de variables en el tiempo (variables de control). Se requiere maximizar una funciónobjetivo, sujeto a una serie de restricciones dinámicas representado por las variables de estado.
max_ct〖V(0)=〗 ∫_0^T▒u(k_t,c_(t,) t)dt
s.a.
(a) k_t=g(k_(t ,) c_(t ),t)
(b)= k_(0 esta dada)
(c) k_T e^(-f_T t)≥0
Dónde:
V (0)= valor de función objetivo del momento inicial
0 y T= momento inicial y final respectivamente
ft= la tasa de descuento que se aplica
T= podría ser finito o infinitokt= variable del estado
ct= variable de control
Las dos variables varían en el tiempo.
La función objetivo es la suma de las funciones objetivo instantáneas que, a su vez, dependen de las variables de control y de estado, así como también del tiempo.
La restricción de acumulación muestra como la variable de control afecta los movimientos en el tiempo de la variable de estado (ecuación detransición o ecuación de movimiento).
La condición inicial, variable de estado tiene un valor inicial dad; restricción, cantidad que se deja en el último momento, una vez descontada la tasa debe ser no negativa. Valores finitos de T implica kt≥0 ya que el factor de descuento nunca será cero. T infinito la cantidad terminal puede ser estrictamente positiva o negativa si la tasa se aproxima a cero.u(c_t,k_t,t)=e^(-p_t ) (c_t^(1-θ)-1)/(1-θ)
La función objetivo depende de la variable de estado, sino del tiempo, a través del factor de descuento, ρ. La ecuación de transición vendría dada por:
(k_t=f(k_(t ) )-c_t-δk_t ) ̇
Donde, δ es la depreciación del capital. Esta ecuación dice que el stock de capital aumenta con el ahorro y disminuye con la depreciación. El ahorro= a la diferenciaentre la cantidad de recursos producidos y los consumidos.
LAS CONDICIONES DE PRIMER ORDEN
Identificar las variables de control y variable de estado (aparece con un puntito en la restricción).
El hamiltoniano: juega el mismo papel que el lagrangiano. El hamiltoniano es la suma de la función objetivo instantánea (fn que aparece dentro de la integral) más el multiplicador de lagrangemultiplicado por la parte de la restricción que no tiene punto.
H(k_(t ,) c_(t ),t)≡u (c_t,k_t,t)+ V_t g(k_(t ,) c_(t ),t)
Como existe una restricción para cada momento del tiempo, existe un multiplicador de lagrange asociado con cada una de estas restricciones
Se toma la derivada del hamiltoniano con respecto a las variables de control y se iguala a cero.
∂H/∂c= ∂u/∂c+ V ∂g/∂c=0
Donde lossubíndices temporales se han ignorado para simplificar la notación.
Se toma la deriva del hamiltoniano con respecto de las variables de estado y se iguala al negativo de la derivada del multiplicador con respecto del tiempo.
∂H/∂k= ∂u/∂k+v ∂g/∂k=-v ̇
La variable de estado se iguala a –v.
La condición de transversalidad. Multiplica variable de estado por el precio implícito y se iguala a cero.v_t k ̇_t=0
Si es infito:
lim┬(t→∞)〖v_t k ̇_t=0〗
Si función objetivo no tiene tasa de descuento:
lim┬(t→∞)〖H_t=0〗
DERIVACIÓN DE LAS CONDICIONES DE PRIMER ORDEN
Para imaginarse de donde salen las condiciones de primer orden de un problema dinámico, se utilizara el de los multiplicadores de lagrange.
L=∫_0^T▒〖u(c_t,k_t,t)dt÷∫_0^T▒〖(V_t (g(k_(t ,) c_(t ),t) 〗〗-k ̇_t))dt+ψk_T e^(-f_T...
OPTIMIZACIÓN DINÁMICA: LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO.
En los años setenta los economistas empezaron a utilizar métodos dinámicos (Ramsey y Hotelling utilizaron el método en los años veinte). Conocida con el nombre de cálculo de variaciones por los matemáticos clásicos. Se perfecciono a través de 1) programación dinámica, útil para solucionar problemas estocásticos detiempo discreto; desarrollado por el matemático Richard Bellman, y 2) control optimo, basada en el hamiltoniano, útil para cuando una de las restricciones es una ecuación diferencial, desarrollado por matemáticos liderados por L. Pontryagin.
EL PROBLEMA TÍPICO
El agente económico debe controlar una serie de variables en el tiempo (variables de control). Se requiere maximizar una funciónobjetivo, sujeto a una serie de restricciones dinámicas representado por las variables de estado.
max_ct〖V(0)=〗 ∫_0^T▒u(k_t,c_(t,) t)dt
s.a.
(a) k_t=g(k_(t ,) c_(t ),t)
(b)= k_(0 esta dada)
(c) k_T e^(-f_T t)≥0
Dónde:
V (0)= valor de función objetivo del momento inicial
0 y T= momento inicial y final respectivamente
ft= la tasa de descuento que se aplica
T= podría ser finito o infinitokt= variable del estado
ct= variable de control
Las dos variables varían en el tiempo.
La función objetivo es la suma de las funciones objetivo instantáneas que, a su vez, dependen de las variables de control y de estado, así como también del tiempo.
La restricción de acumulación muestra como la variable de control afecta los movimientos en el tiempo de la variable de estado (ecuación detransición o ecuación de movimiento).
La condición inicial, variable de estado tiene un valor inicial dad; restricción, cantidad que se deja en el último momento, una vez descontada la tasa debe ser no negativa. Valores finitos de T implica kt≥0 ya que el factor de descuento nunca será cero. T infinito la cantidad terminal puede ser estrictamente positiva o negativa si la tasa se aproxima a cero.u(c_t,k_t,t)=e^(-p_t ) (c_t^(1-θ)-1)/(1-θ)
La función objetivo depende de la variable de estado, sino del tiempo, a través del factor de descuento, ρ. La ecuación de transición vendría dada por:
(k_t=f(k_(t ) )-c_t-δk_t ) ̇
Donde, δ es la depreciación del capital. Esta ecuación dice que el stock de capital aumenta con el ahorro y disminuye con la depreciación. El ahorro= a la diferenciaentre la cantidad de recursos producidos y los consumidos.
LAS CONDICIONES DE PRIMER ORDEN
Identificar las variables de control y variable de estado (aparece con un puntito en la restricción).
El hamiltoniano: juega el mismo papel que el lagrangiano. El hamiltoniano es la suma de la función objetivo instantánea (fn que aparece dentro de la integral) más el multiplicador de lagrangemultiplicado por la parte de la restricción que no tiene punto.
H(k_(t ,) c_(t ),t)≡u (c_t,k_t,t)+ V_t g(k_(t ,) c_(t ),t)
Como existe una restricción para cada momento del tiempo, existe un multiplicador de lagrange asociado con cada una de estas restricciones
Se toma la derivada del hamiltoniano con respecto a las variables de control y se iguala a cero.
∂H/∂c= ∂u/∂c+ V ∂g/∂c=0
Donde lossubíndices temporales se han ignorado para simplificar la notación.
Se toma la deriva del hamiltoniano con respecto de las variables de estado y se iguala al negativo de la derivada del multiplicador con respecto del tiempo.
∂H/∂k= ∂u/∂k+v ∂g/∂k=-v ̇
La variable de estado se iguala a –v.
La condición de transversalidad. Multiplica variable de estado por el precio implícito y se iguala a cero.v_t k ̇_t=0
Si es infito:
lim┬(t→∞)〖v_t k ̇_t=0〗
Si función objetivo no tiene tasa de descuento:
lim┬(t→∞)〖H_t=0〗
DERIVACIÓN DE LAS CONDICIONES DE PRIMER ORDEN
Para imaginarse de donde salen las condiciones de primer orden de un problema dinámico, se utilizara el de los multiplicadores de lagrange.
L=∫_0^T▒〖u(c_t,k_t,t)dt÷∫_0^T▒〖(V_t (g(k_(t ,) c_(t ),t) 〗〗-k ̇_t))dt+ψk_T e^(-f_T...
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