APENDICE SISTEMAS NUMEROS REALES

Apéndice I

1 El sistema de los números reales
Introducción
El ente básico de la parte de la matemática conocida como análisis lo constituye el llamado sistema de los números reales.
Números tales como 1, 3,

3

5 , π , e, y sus correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas.

Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno deellos comienza con un sistema más
primitivo –tal como el conjunto de los números naturales o enteros positivos 1, 2, 3, 4, ... −, y a partir de él, por medio de
una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales1.
En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números reales (asumiendo que existe), por medio
de un conjuntofundamental de propiedades (axiomas), de las cuales pueden deducirse muchas otras propiedades.
En esta primera parte se hará una presentación intuitiva del conjunto ℜ de los números reales. Se parte de un conjunto
primitivo como es el conjunto de los números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo
más a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones en las cuales losconjuntos que se van definiendo resultan insuficientes
para la solución, que a un desarrollo axiomático del mismo.

1.1 Conjunto de los números reales
El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas, se pueden mencionar los
siguientes subconjuntos:
Conjunto de los números naturales
El conjunto de los números naturales, que se denota por

otambién por

+

, corrientemente se presenta así:

= {1, 2, 3, 4, 5, ...}.
La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.

1. El matemático Italiano G. Peano (1858-1932) presentó en 1889 un conjunto de cinco axiomas para los números naturales. Puede
verse una discusión detallada en el desarrollo del sistema de los números reales por medio de los axiomasde Peano, en el libro
Foundations of analysis, de F. Landau. New York, Chelsea, Publishing Co. 1951.

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

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Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales.
Conjunto de los números enteros
El conjunto de los números enteros, que sedenota por

, corrientemente se presenta así:

= {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.
En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en
ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = –2.
Puede notarse que

, como sucede por

⊂ .

Conjunto de los números racionales
El conjunto de los números racionales, que se denota por

, sedefine de la siguiente manera:

⎧m
⎫
= ⎨ , con m, n enteros y n ≠ 0⎬ .
⎩n
⎭
La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación
ax = b, con a, b ∈ , a ≠ 0.
Ésta sólo tiene solución en

, en el caso particular en que a sea un divisor de b.

Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en consecuencia, se puede concluir que

⊂⊂

.

En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d, ..., se entenderá que a, b, c, d, ... son números
enteros y que los denominadores son diferentes de cero.
Conjunto de los números irracionales
En muchos temas de la geometría se plantean, en general, problemas para cuya solución el conjunto de los números
racionales resulta insuficiente. Así por ejemplo,al considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de
la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x satisface la ecuación
x2 = 2. Puede demostrarse fácilmente que no existe x ∈ que verifique esta última ecuación. En general, una ecuación de
la forma xn = a, con a ∈ y n ∈ , carecerá (excepto casos particulares) de...