APLICACI N DE LA INTEGRAL DEFINIDA





APLICACIÓN
DE LA
INTEGRAL DEFINIDA























ÁREAS DE REGIONES PLANAS

Problema 1. Hallar el área de la región limitada por la parábola x2 – 6x + y + 5 = 0 y el eje de las X.

Visualicemos el área pedida: Podemos reescribir la ecuación de la parábola como (x – 3)2 = – (y – 4). El vértice es (3, 4). Las intersecciones con el eje X (donde y = 0) son x = 1 y x =5. La región pedida es la indicada en el gráfico.

Construyendo rectángulos verticales (diferenciales de área) desde x = 1 hasta x = 5, donde el área de cada elemento (dA) es:



















Integrando desde x =1 hasta x = 5



Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo




Problema 2. Hallar el área de la menor región limitada por las parábolas , y el eje de las X.

Si seconstruyen rectángulos verticales, observe que no existe uno representativo, pues la altura y de algunos queda limitada por el eje de las X y una de las parábolas, mientras que para otros, es la otra parábola.
Una solución sería hallar el área en dos partes.
La otra solución es construir rectángulos horizontales, ya que el ancho x de cada uno de ellos siempre queda limitado por las dosparábolas. Se aplicará esta alternativa.



























El elemento de área dA es:



donde



entonces:



Integrando desde y = 0 hasta y = 5 (la intersección de las parábolas):




















Problema 3. Se tiene un contenedor cilíndrico horizontal de 2 m de radio y 6 m de longitud. El nivel del líquido que contiene se encuentra 0.5 metros arriba del centro.

El área queel líquido proyecta en los extremos del recipiente es 2.527 m2
Si se trasvasan 10 000 litros a otro recipiente, la cantidad de líquido que queda en el contenedor es aproximadamente 5162 litros.





























VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Problema 1. Hallar el volumen del sólido que se genera al girar en el eje de las X la región plana limitada por la parábola , el eje delas X positivas y la recta

Se muestra la región plana a girar y el sólido generado.
Del sólido tomaremos una diferencial de volumen dV como elemento representativo de todos los que se construyan desde x = 0 hasta x = 4, siendo su volumen el indicado:








Como




Integrando desde x = 0 hasta x = 4













TRABAJO

Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo y logra desplazarlouna distancia, se dice que se realiza un trabajo.

Matemáticamente el trabajo se ha definido como el producto de la fuerza “F” por la distancia “d”



Es importante mencionar, para la expresión anterior, que la fuerza F que produce trabajo se considera CONSTANTE y que mientras se esté aplicando, el cuerpo seguirá desplazándose.


TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE

Analicemos la fuerzaque se aplica sobre un resorte: La ley de Hooke establece que cuando se aplica una fuerza F sobre un resorte, la deformación x que experimenta es proporcional a dicha fuerza.



Siendo k una constante de proporcionalidad a la que se le llama “constante elástica del resorte”

Suponga un resorte con una constante elástica de 100 N/m. La fuerza F que se debe aplicar para que experimente unadeformación de 5 cm (0.05 m) es:



Si la fuerza permanece constante, la deformación seguirá siendo la misma. Si se desea que se deforme 10 cm, es necesario aplicar una fuerza de 10 N, 20 N para una deformación de 20 cm y así sucesivamente.

Por lo anterior, si se desea deformar un resorte 20 cm desde su longitud original, la fuerza que se debe aplicar es VARIABLE, por lo que el trabajo Wrealizado no puede calcularse como se hace con una fuerza constante.

Problema 1. Suponga que se aplica una fuerza F sobre el resorte antes mencionado y éste experimenta una deformación de 20 cm a lo largo del eje X, desde a hasta b; podemos calcular el trabajo total como la suma de los trabajos realizados en pequeños desplazamientos (diferenciales), es decir, la suma desde a hasta b de las...