Aplicacion de derivadas

Ejercicio No.1 - Cálculo
a) De todas las parejas de números reales cuyas componentes tienen suma S dada
en contrar aquella para la cual el producto P de las mismas es máximo.
b) Aplica lo anterior al caso S= 40
Ejercicio No.2 – Cálculo
a) De todas las parejas de números reales cuyas componentes positivas tienen
producto dado, encontrar aquella para la cual la suma de esas componentes esmínima.
.
b) Aplica lo anterior al caso P = 100
Ejercicio No.3 - Cálculo
Demostrar que de todos los rectángulos de perímetro p dado, el de máxima área es
el cuadrado.
Ejercicio No. 1
a) Llamemos x e y a las componentes de la pareja.
Se busca maximizar P tal que: P = x .y
Sabemos que se cumple la condición: x + y = S (1)
De la condición (1): y = S – x.
Sustituyendo tendremos: P (x) = x. ( S – x )
Finalmente entonces: P ( x ) = - x2 + S.x
Nos encontramos con una simple función cuadrática que conoces de cursos
anteriores. Busquemos su máximo , vértice de la parábola representativa de la
función , para lo cual debemos anular su derivada .
Derivando:

Anulando: - 2.x + S = 0 Finalmente: x = ½ S.
De la condición ( 1 ) : y = ½. S
La pareja buscada será entonces: ( ½ S, ½ S)El producto de sus componentes será el valor máximo: P ( ½ S ) = ¼ S2
El bosquejo de la función producto es el indicado en la figura.

b) Si S = 40 , la solución es: x = 20 , y = 20 o sea la pareja ( 20, 20 ).
El producto máximo será entonces: Pmax = 400.
Ejercicio No.2
a) Siendo ( x , y ) la pareja buscada deseamos en este caso minimizar la suma
S = x + y
cumpliéndose la condición :
x. y = P ( 1 ) siendo P , dado.
De la condición anterior se concluye que: y = P/ x. Sustituyendo obtenemos
finalmente:
Busquemos los puntos críticos de la función anulando la derivada. Tendremos:

Hemos descartado la solución negativa ya que x > 0.
Estudiando el signo de la derivada primera de la función o calculando la derivada
Segunda en el punto crítico podemos clasificarlo.

El puntocrítico corresponde entonces a un mínimo y su ordenada vale: S( )= 2.
Bosquejemos la función S:

Calculemos: lim S(x)=+∞ lim S(x)=+∞
X +∞ x  0+
La gráfica de la función S tendrá el andamiento indicado en la figura.

La componente y de la pareja la obtenemos de la relación (1): y = p/x = p
Finalmente entonces la pareja buscada es: ( , ) y susuma , S = 2 p
b) Siendo P = 100 la pareja será ( 10 , 10 ) y su suma S = 20.
Ejercicio No. 3
Llamemos x e y a los lados del rectángulo.
Su perímetro p será: p =2 ( x + y ) (I) y su área A: A = x .y
Observa que este ejercicio es una aplicación geométrica del ejercicio No. 1.
En efecto, de la expresión (I): x + y = p/2 con (p / 2) dado , y estamos buscando
maximizar su producto ( x .y ). Sillamamos S al número (p / 2) estamos en las
condiciones del ejercicio No.1
De acuerdo con los resultados allí obtenidos la solución será: x = y = S / 2 = p / 4 ,
por lo que el rectángulo de área máxima es el CUADRADO.
El área máxima valdrá : A max = S2 / 4 = p2 / 16
Ejercicio No.29 - Eficiencia Laboral – (Resol. Pag. 164)
Un estudio sobre la eficiencia de los trabajadores del turno matutinode una fábrica
indica que el número N de artículos ensamblados por un trabajador promedio está
dada por la relación:
N(t) =
siendo t el tiempo transcurrido desde el inicio del turno (8:00 a 13:00 hrs.)
a) Grafica la curva de producción N(t) para 0≤ t ≤ 5 .
b) ¿A qué hora de mañana la tasa de producción ( ) del trabajador (eficiencia)
es máxima?.
c) ¿A que hora es mínima?.
d) Grafica latasa de producción para 0 ≤ t ≤ 5..
Ejercicio No.33 - Proyectil – (Resol. Pag. 170)
Se lanza un proyectil en el vacío desde un punto 0 (ver figura) con velocidad V0 y
ángulo de inclinación θ.
En el sistema (XOY) indicado, la trayectoria del proyectil responde a la función:

a) Indica qué tipo de curva es la descripta por el proyectil.
b) Para Vo y θ dadas, encuentra la altura máxima (hmax)...