Aplicaciones de la derivada
Páginas: 3 (654 palabras)
Publicado: 28 de junio de 2010
APLICACIONES DE LA DERIVADA
REGLA DE L’HÔPITAL
Sean f y g que admiten derivadas f’ y g’ para cada valor x perteneciente a un intervalo abierto (a, b). Supongamos que lím x→a+ f(x) =0 y lím x→a+g(x)=0, además g’ (x) ≠0 para todo xϵ (a, b). Si [pic] = k, entonces [pic] = k.
Observaciones
1) Este teorema es válido si x → a ó x→ ∞.
2) Si ocurre que: lím x→a+ f(x) = ∞ y límx→a+ g(x) = ∞ el teorema sigue siendo válido.
3) En general el teorema se verifica para cualquier valor [pic] del intervalo (a, b).
4) El teorema es válido sólo para formas indeterminadas deltipo [pic] e [pic], cualquier otra forma indeterminada como: 0.∞, ∞ - ∞, [pic],[pic], ó [pic], se deben llevar a las formas indeterminadas, que contempla el teorema, para aplicar la regla de L’Hôpital.
Ejercicio.
Calcula el siguiente límite [pic]
Tenemos que [pic] y [pic]
Aplicamos la regla de L’ Hôpital para calcularlo, ya que es un límite de la forma [pic], así [pic] = [pic] = [pic]TEOREMA DE ROLLE
Sea una función continua definida en el intervalo cerrado [a,b] [pic] IR, tal que f es derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), entonces existe al menos un[pic]en (a,b) tal que f’ ([pic])= 0.
Dada una función f: [a,b] → IR continua y derivable en (a,b), el Teorema de Rolle expresa geométricamente que la recta tangente a la gráfica de f en el punto ([pic],f([pic])), es paralela al segmento de recta horizontal que une los puntos de coordenadas (a, f(a)) y (b, f(b)).
Ejercicio.
Sea la función f: [-1,1] → IR dada por f(x)= [pic]-x+2.
a. Pruebaque existe [pic]ϵ (-1,1), tal que f’ ([pic])=0.
b. Calcula [pic].
a) F es una función continua y derivable en IR, por ser una función polinómica, luego es continua en [-1,1] y derivableen (-1,1). Además:
f(-1) = [pic]- (-1) +2= -1+1+2= 2
f(1) = [pic]-1+2=2
Así f(-1) = f(1) entonces se cumplen todas las hipótesis del Teorema de Rolle,...
REGLA DE L’HÔPITAL
Sean f y g que admiten derivadas f’ y g’ para cada valor x perteneciente a un intervalo abierto (a, b). Supongamos que lím x→a+ f(x) =0 y lím x→a+g(x)=0, además g’ (x) ≠0 para todo xϵ (a, b). Si [pic] = k, entonces [pic] = k.
Observaciones
1) Este teorema es válido si x → a ó x→ ∞.
2) Si ocurre que: lím x→a+ f(x) = ∞ y límx→a+ g(x) = ∞ el teorema sigue siendo válido.
3) En general el teorema se verifica para cualquier valor [pic] del intervalo (a, b).
4) El teorema es válido sólo para formas indeterminadas deltipo [pic] e [pic], cualquier otra forma indeterminada como: 0.∞, ∞ - ∞, [pic],[pic], ó [pic], se deben llevar a las formas indeterminadas, que contempla el teorema, para aplicar la regla de L’Hôpital.
Ejercicio.
Calcula el siguiente límite [pic]
Tenemos que [pic] y [pic]
Aplicamos la regla de L’ Hôpital para calcularlo, ya que es un límite de la forma [pic], así [pic] = [pic] = [pic]TEOREMA DE ROLLE
Sea una función continua definida en el intervalo cerrado [a,b] [pic] IR, tal que f es derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), entonces existe al menos un[pic]en (a,b) tal que f’ ([pic])= 0.
Dada una función f: [a,b] → IR continua y derivable en (a,b), el Teorema de Rolle expresa geométricamente que la recta tangente a la gráfica de f en el punto ([pic],f([pic])), es paralela al segmento de recta horizontal que une los puntos de coordenadas (a, f(a)) y (b, f(b)).
Ejercicio.
Sea la función f: [-1,1] → IR dada por f(x)= [pic]-x+2.
a. Pruebaque existe [pic]ϵ (-1,1), tal que f’ ([pic])=0.
b. Calcula [pic].
a) F es una función continua y derivable en IR, por ser una función polinómica, luego es continua en [-1,1] y derivableen (-1,1). Además:
f(-1) = [pic]- (-1) +2= -1+1+2= 2
f(1) = [pic]-1+2=2
Así f(-1) = f(1) entonces se cumplen todas las hipótesis del Teorema de Rolle,...
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