Aplicaciones matriz hessiana

Aplicación de la matriz hessiana
Concavidad/Convexidad
Sea un conjunto abierto y una función con derivadas segundas continuas:
1. es cóncava si y solo si, , la matriz hessiana essemidefinida negativa.
2. Si la matriz hessiana es definida negativa, entonces es estrictamente cóncava.
* Si es una función cóncava, entonces cualquier punto en que todas lasderivadas parciales son cero, es un máximo local.
3. es convexa si y solo si, , la matriz hessiana es semidefinida positiva.
4. Si la matriz hessiana es definida positiva,entonces f es estrictamente convexa.
* Si es una función convexa, entonces cualquier punto en que todas las derivadas parciales son cero, es un mínimo local.
Método para determinar elcarácter de los puntos críticos
Se verá a continuación cómo hallar los puntos críticos (máximos, mínimos y puntos de inflexión -o silla o de ensilladura) de una función f de múltiplesvariables.
1. Se igualan las derivadas parciales primeras a cero.
2. Se resuelven las ecuaciones anteriores y se obtienen las coordenadas de los puntos críticos.
3. Seconstruye la matriz hessiana (derivadas segundas parciales).
4. Dependiendo del tipo de matriz resultante de evaluar la matriz Hessiana en los diferentes puntos críticos, estos puntos serán:* Máximo: si la matriz hessiana en el punto es definida negativa.
* Mínimo: si la matriz hessiana en el punto es definida positiva.
* Punto de silla: si la matriz hessiana enel punto es indefinida (no definida o semidefinida positiva ni definida semidefinida negativa).
Matriz hessiana orlada
Variante de la matriz hessiana (que se construye de una maneradiferente en este caso). Su determinante se utiliza como criterio para determinar si puntos críticos de funciones sometidas a restricciones son mínimos o máximos (extremos condicionados).[