Apliderivada 2

APLICACIÓNES DE LAS
DERIVADAS.
INGENIERIA ELECTRONICA Y DE
TELECOMUNICACIONES
SECCION 01 -1
Profesor : MARTIN SOLIS TIPIAN

APLICACIÓNES DE LAS DERIVADAS.
En cálculo es importante conocer el comportamiento de una función f
sobre un intervalo dado.
¿El intervalo tiene un valor máximo o un mínimo?
¿Dónde es creciente o decreciente la función?
Las derivadas se utilizan para responder a estapreguntas
Puntos Críticos.
Definición.

Decimos que x=c es un punto crítico de la función f(x), si f(c) existe y si
lo siguiente es cierto:
f’(c)=0

ó

f’(c) no existe

Nótese que se requiere que f(c) exista, a fin de que x=c sea un punto
crítico.
Ejemplo: Determine los puntos críticos de la función:
Solución:

f (x ) = 6 x 5 + 33x 4 − 30 x 3 + 100

Encontramos la derivada de la función:

f ' (x ) = 30x 4 + 132 x 3 − 90 x 2

(

= 6 x 2 5 x 2 + 22 x − 15
= 6 x 2 (5 x − 3)(x + 5)

)

La derivada es un polinomio y es continua en todos los puntos. Los
puntos críticos serán aquellos en los cuales la derivada es cero:

6 x 2 (5 x − 3)( x + 5) = 0

Por lo tanto los puntos críticos serán:

x = −5;

x = 0;

3
x=
5

Ejemplo: Determine los puntos críticos de la función:

g (t ) = 3 t 2 (2t − 1)Solución: Reordenando y derivando tendremos:
2
3

g (t ) = t (2t − 1)

5
3

= 2t − t

2
3

2
3

10
2
g ' (t ) = t − t
3
3

−

1
3

2
3

10t
2
=
− 1
3
3t 3

Nótese que al eliminar el exponente negativo, podemos identificar que
t=0 es un punto crítico para esta función, ¿Porque?
No existe la derivada. ¿f(c) esta definida en t=0?.
Si. por lo tanto t=0 será un punto crítico.
Ahora encontremos el punto en elcual la derivada es cero
(suponiendo que exista):
Reordenando g’(t) obtenemos:

g ' (t ) =

10t − 2
3t

1
3

En esta expresión racional, ¿en que momento obtenemos un valor de
cero en el numerador?
Por lo tanto los puntos críticos serán:

t =0

1
t=
5

y

Ejemplo: Determine los puntos críticos de la función:

w2 + 1
R (w ) = 2
w − w−6
Solución: Derivando obtenemos:

R ' (w ) =

− w2 − 14w + 1

(w2

− w−6

)

2

=−

w2 + 14w − 1

(w

2

− w−6

)

2

¿En que momento podemos considerar que la derivada de esta
función no existe?
Cuando tengamos un cero en el denominador. Resolviendo tenemos:

w2 − w − 6

= (w − 3)(w + 2) = 0

Dado que cero al cuadrado siempre es cero, entonces la derivada no
existirá en los puntos:
w=3

y

w=-2

¿Esta definida la función en estos puntos?
No, por lo tanto noson puntos críticos.
Debemos recordar que para tener un punto crítico, la función debe
existir en este punto.
Por lo tanto ¿como encontramos un punto crítico en la derivada de la
función?
Podemos encontrar los puntos en los que la derivada es cero.
¿Como?

w=

− 14 ±

(14) − 4(1)(− 1)
2(1)
2

− 14 ± 200
=
2

= −7 ± 5 2

Si, por lo tanto obtendremos dos puntos críticos.

w = −7 + 5 2

w = −7 − 52

Ejemplo: Determine los puntos críticos de la función:
Solución: Derivando obtenemos:
Factorizando obtenemos:

Esta función es continua en todos los puntos.
¿Como determinamos el momento en que la derivada tiene un valor
de cero?

Por lo tanto tendremos los siguientes puntos críticos:
Ejemplo: Determine los puntos críticos de la función:
Solución: Derivando obtenemos:

¿En que momento laderivada no existe?
Cuando x tiene un valor negativo o cuando x=0.
¿Serán entonces puntos críticos de la función?
No, porque tampoco está definida la función, es decir para f(0).
¿cuál es el valor de la derivada a x=0.
Dado que la derivada no existe en x=0, debido a la presencia del
logaritmo natural, entonces la derivada tampoco puede ser cero ahí.
La derivada solo será cero si igualamos con cero esaparte:

Obteniéndose un solo punto crítico.
Valores Máximos y Mínimos.
Definición.
1.- Se dice que f(x) tiene un máximo (o global) absoluto en x=c si
para cada x en el dominio de la función que se
considera.
2.- Se dice que f(x) tiene un máximo (o local) relativo en x=c si
para cada x en algún intervalo abierto alrededor de
x=c .

3.- Se dice que f(x) tiene un mínimo (o global) absoluto en x=c...