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Universidad de Santiago de Chile

Producto Punto – Producto Cruz

PRODUCTO PUNTO Hasta aquí se han sumado y restado dos vectores, y ponderado un vector por un escalar. Nos preguntamos ¿es posible multiplicar dos vectores, de modo que su producto sea una cantidad útil? Uno de esos productos es el producto punto, cuya definición damos a continuación. Otro producto es el producto cruz que sedefinirá posteriormente. Ambos son muy útiles en algunas aplicaciones físicas y tienen interesantes interpretaciones geométricas

Definición:

Si a = a1 , a 2 , a3 punto de

y b = b1 , b2 , b3 y

son dos vectores, entonces el producto

a

b

que se anota

a • b es el número real dado por

a • b = a1· b1 + a2 · b2 + a3 · b3 .
El producto punto de vectores en dos dimensiones sedefine en forma semejante

a1 , a2 • b1 , b2 = a1· b1 + a2 · b2

a y b Entonces para hallar el producto punto de los vectores multiplicamos las componentes correspondientes y sumamos dichos productos. El resultado no es un vector, es un número real, es decir es un escalar. Por esta razón, el producto punto se le llama a veces producto escalar( o producto interior).
Ejemplo 1. Si a = 2, − 1, 3 y b= 1, 2, − 3 , entonces el producto punto de a y b es:

a • b = 2, − 1, 3 • 1, 2, − 3 = 2· 1 + (−1)·2 + 3·( −3) = −9
Ejemplo 2. Si a = 3, − 2 y b = 2, − 3 , entonces el producto punto de a y b será:

a • b = 3, − 2 • 2, − 3 = 3· 2 + (−2)·(−3) = 12
Ejemplo 3. Si a = 4·i − 3· j + 4·k y b = 2·i − 4· j + 5·k , entonces a • b esta dado por:

a • b = (4·i − 3· j + 4·k ) • (2·i − 4· j + 5·k ) = 4·2 + ( −3)·(−4) + 4·5 = 40
Algunas propiedades del producto escalar se deducen directamente de la definición. Propiedades: Si a , b y c 1. 2. 3. son vectores y α y β son escalares, entonces

a•a ≥ 0; a • (b + c) = a • b + a • c ;

a•a =0

⇔

a=0 a•b = b•a
a •a

( a + b) • c = a • c + b • c

α a • b = α ( a • b)

a • β b = β ( a • b)

2 2 2 Si a = a1 , a 2 , a3 , entonces a • a =a1 + a2 + a3 , con lo cual a =

Profesor Sr. Héctor Carreño G.

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Producto Punto – Producto Cruz

Al producto punto a • b se le puede dar una interpretación geométrica en términos del ángulo de medida θ determinado por los vectores a y b ,

que se define como el ángulo entre las representaciones de a y b que tienen su origen en el origen decoordenadas, donde 0 ≤ θ ≤ π . En otras palabras, θ es la medida del ángulo determinado entre los segmentos de recta OA y OB . En particular si a θ =0 , o θ =π . y b son vectores paralelos, entonces

Teorema 1:

Si θ es el ángulo entre los vectores a

y b , entonces se verifica que

a • b = a · b · cos θ .
Ejemplo Si los vectores

a y b tiene longitudes 2 y 3, y el ángulo que formanentre

ellos mide 30º, encuentre a • b . Desarrollo: Usando el teorema anterior, tendremos

a • b = a · b · cos θ = 2 · 3 · cos(30º ) = 2 · 3 · cos( π ) = 6 · 6
Si θ es el ángulo entre los vectores a

3 2

=3 3

Corolario:

y b no nulos, entonces

cos θ =

a •b a ·b

Se deduce de la ecuación dada anteriormente que si a y b son vectores no nulos, podemos expresar que la medida delángulo θ que forman es

⎛ ⎜ a •b θ = Arc cos⎜ ⎜ a ·b ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Profesor Sr. Héctor Carreño G.

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Producto Punto – Producto Cruz

Ejemplo:

Hallar el ángulo entre los vectores a = i + j + k y b = i + j − k . Desarrollo: Usando el teorema 1, o bien la consecuencia del corolario, tenemos:

cos θ =

(i + j + k ) • ( i + j − k ) (i + j +k ) · (i + j − k )

1 +1 −1 1 = 3· 3 3 1 cosθ = 3 cos θ =

θ = Arc cos(1 ) 3

θ ≈ 71º
Hallar el ángulo entre los vectores a = 2, − 1, 3 Desarrollo: Como además y b = 1, 2, − 3 .

Ejercicio:

a =

22 + (−1) 2 + 32 = 14

y

b =

12 + 2 2 + (−3) 2 =

14 , y

a • b = 2, − 1, 3 • 1, 2, − 3 = 2· 1 + (−1)·2 + 3·( −3) = −9 , entonces, 9 −9 9 = , por tanto θ = Arc cos (− 14 ) ≈...