aproximacion de numeros algebraicos por racionales

NUMEROS ALGEBRAICOS
Y TRASCENDENTES


§1. Introducci´on.

Este trabajo est´a dedicado a los n´umeros algebraicos√y trascendentes. Des-
pu´es de revisar las pruebas de que n´umeros como 2, πy ζ(3) son irra-
cionales, vamos a enfocar nuestra atenci´on a demostrar la trascendencia
de n´umeros como el n´umero e de Euler. Mencionaremos tambi´en sin de-
mostraci´on un profundo teorema deK.F. Roth sobre las aproximaciones
a n´umeros algebraicos mediante n´umeros racionales. Aplicaremos el Teo-
rema de Roth al estudio de una clase de ecuaciones diofantinas.


§2. N´merosIrracionales.

Definici´on 1. Un n´umero irracional es un n´umero real que no es de la
forma a/b para algunos enteros a y b = 0.

El siguiente resultado era conocido ya en tiempos de Pit´agoras(570-490
A.C.).

Teorema 2. El n´umero √


2 es irracional.


Demostraci´on. Supongamos lo contrario. Entonces existen dos enteros
positivos a, b tales que

(3) √


2 = a


yadem´as a, b no tienen ning´un factor primo en com´un: (a, b) = 1. La
ecuaci´on (3) muestra que 2|a2 y por lo tanto 2|a. Escribiendo a = 2α
obtenemos que b2 = 2α2. Pero esta ecuaci´onmuestra que 2|b. Por lo
tanto (a, b) ≥ 2, lo cual contradice que (a, b) = 1.







p´agina 2

Ejercicio 4. Demuestre que toda soluci´on real de la ecuaci´on

xm + cm−1xm−1 + • • • + c0 =0, con cj ∈ Z,
es un n´umero entero o bien un n´umero irracional.
√
Ejercicio 5. Pruebe que m n es irracional siempre que n no sea una
m-´esima potencia de un entero.

Ejercicio 6.Pruebe que √

2+ √


3 es irracional.


Sugerencia. Considere el polinomio x4 − 10x2 + 1.

El hecho de que π es un n´umero irracional fue demostrado por primera
vez en 1770 por J.H.Lambert. La demostraci´on que se presenta aqu´ı se
debe a I. Niven.

Teorema 7 (Lambert). El n´umero π es irracional.

Demostraci´on (Niven). Supongamos lo contrario. Entonces existen...