• Aproximacion de una funcion mediante un grupo de funciones ortogonales entre si
Páginas: 2 (288 palabras)
Publicado: 6 de febrero de 2012
* APROXIMACION DE UNA FUNCION MEDIANTE UN GRUPO DE FUNCIONES ORTOGONALES ENTRE SI
OBJETIVO.
QUE EL ALUMNO VEA, MEDIANTE UN PROGRAMA, COMO SON LAS APROXIMACIONES DE FUNCIONES.INTRODUCCION.
EL PROBLEMA QUE LLEVÓ A JEAN BAPTISTA FOURIER AL DESCUBRIMIENTO DE LAS SERIES FUE LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN BARRAS METÁLICAS. ESTO PERTENECE A LA CLASE DE PROBLEMASCON VALORES DE FRONTERA, LLAMADAS ASÍ PORQUE LA FUNCIÓN MATEMÁTICA QUE REPRESENTA LA SOLUCIÓN NO SOLO DEBE SATISFACER LAS CONDICIONES DE EQUILIBRIO DENTRO DEL MEDIO SINO QUE DEBE SERCAPAZ DE ASUMIR CONDICIONES DE BORDE ARBITRARIAS. OTROS EJEMPLOS SERÍAN LOS PROBLEMAS SOBRE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN O EL DE LA CUERDA DE VIOLÍN PRENSADA.
LA TEORÍA DE LAS SERIES DEFOURIER ES IMPORTANTE EN SÍNTESIS Y ANÁLISIS DE REDES PORQUE PROPORCIONA EL MEDIO PARA APROXIMAR UNA FUNCIÓN ARBITRARIA SOBRE UN INTERVALO DE TIEMPO DADO, CON LA SUMA DE SINUSOIDES.LA PROPIEDAD DE LINEALIDAD QUE PRESENTAN ALGUNAS REDES NOS PERMITIRÁ ADEMÁS UTILIZAR EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN Y POR TANTO PODEMOS APLICAR ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN REGIMENSINUSOIDAL PERMANENTE SOBRE FUNCIONES ARBITRARIAS LO QUE, OBVIAMENTE, SIMPLIFICA EL TRABAJO. LA IDEA FUNDAMENTAL ES LA SIGUIENTE: SE TIENE UNA SEÑAL ARBITRARIA X(T) Y SE QUIEREREPRESENTAR X(T) COMO:
LAS SUMAS PARCIALES SK SE DEFINEN ASÍ:
Dado que la secuencia sk(x) converge uniformemente a f(x), se desprende que converge uniformemente a cuando para cada n fijo.
(Observe que )
Así para cada n fijo
La serie, convergente uniformemente, puede ser integrada término a término
El argumento es análogo para
* Calculandola serie de Fourier de la función f dada por:
ya que f es una función impar, esto es , y por lo tanto:
a0=0
Para los coeficientes bn estan dados por:
Se deduce que
OBJETIVO.
QUE EL ALUMNO VEA, MEDIANTE UN PROGRAMA, COMO SON LAS APROXIMACIONES DE FUNCIONES.INTRODUCCION.
EL PROBLEMA QUE LLEVÓ A JEAN BAPTISTA FOURIER AL DESCUBRIMIENTO DE LAS SERIES FUE LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN BARRAS METÁLICAS. ESTO PERTENECE A LA CLASE DE PROBLEMASCON VALORES DE FRONTERA, LLAMADAS ASÍ PORQUE LA FUNCIÓN MATEMÁTICA QUE REPRESENTA LA SOLUCIÓN NO SOLO DEBE SATISFACER LAS CONDICIONES DE EQUILIBRIO DENTRO DEL MEDIO SINO QUE DEBE SERCAPAZ DE ASUMIR CONDICIONES DE BORDE ARBITRARIAS. OTROS EJEMPLOS SERÍAN LOS PROBLEMAS SOBRE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN O EL DE LA CUERDA DE VIOLÍN PRENSADA.
LA TEORÍA DE LAS SERIES DEFOURIER ES IMPORTANTE EN SÍNTESIS Y ANÁLISIS DE REDES PORQUE PROPORCIONA EL MEDIO PARA APROXIMAR UNA FUNCIÓN ARBITRARIA SOBRE UN INTERVALO DE TIEMPO DADO, CON LA SUMA DE SINUSOIDES.LA PROPIEDAD DE LINEALIDAD QUE PRESENTAN ALGUNAS REDES NOS PERMITIRÁ ADEMÁS UTILIZAR EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN Y POR TANTO PODEMOS APLICAR ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN REGIMENSINUSOIDAL PERMANENTE SOBRE FUNCIONES ARBITRARIAS LO QUE, OBVIAMENTE, SIMPLIFICA EL TRABAJO. LA IDEA FUNDAMENTAL ES LA SIGUIENTE: SE TIENE UNA SEÑAL ARBITRARIA X(T) Y SE QUIEREREPRESENTAR X(T) COMO:
LAS SUMAS PARCIALES SK SE DEFINEN ASÍ:
Dado que la secuencia sk(x) converge uniformemente a f(x), se desprende que converge uniformemente a cuando para cada n fijo.
(Observe que )
Así para cada n fijo
La serie, convergente uniformemente, puede ser integrada término a término
El argumento es análogo para
* Calculandola serie de Fourier de la función f dada por:
ya que f es una función impar, esto es , y por lo tanto:
a0=0
Para los coeficientes bn estan dados por:
Se deduce que
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