Apunte Optimizaci N Segunda Prueba

Ayudantía J. Morales - Apunte Optimización - 661

I. Repaso, Potencias, Raíces y Derivadas.
1. Potencias y Raíces:
1.1. Multiplicación de potencias de igual base, se mantiene la base (x) y se suman los exponentes.

x a x b  x a b
1
2

3
2

4
2

x x  x  x2
1.2. División de potencias de igual base, se mantiene la base y se restan los exponentes.

xa
 x a b
b
x
4
1
4 1
5
( ) (  )

x 4/3
 x3 3  x3 3  x3
1/3
x
1.3. Pasar de raíz a potencia o viceversa (raíces son potencias en fracciones).

a

3

x x
b

x2  x

b
a
2
3

1.4. Potencias Negativas; la potencia negativa pasa al lado contrario del numerador o
denominador para mantenerse positivo.

1
xa
1
1
 1/2 
x
x

x a 
x

1
2

1
 xa
a
x
4
 4 x 3
3
x
1

Ayudantía J. Morales - Apunte Optimización - 661

2. Derivadas(multiplicación, división y cadena):
2.1. Para derivar, se pasa multiplicando el exponente por el factor que acompaña a la variable (ya
sea x, y, etc.), y se reduce su exponente en 1.

f ( x )  ax b
f '( x )  ( ab) x b1
1 43
f ( x)  x
2
1 4 43 1 2 13
f '( x ) 
* x
 x
2 3
3
2.2. Derivar cuando hay Multiplicación de por medio; se puede aplicar el procedimiento o bien
desarrollar la multiplicación yluego derivar (recomiendo el procedimiento).

( f * g ) '( x )  f '( x ) g ( x )  g ( x ) f ( x)
1
3

y  (3x  2)( x 2  x )
1
3

1
3

y '  (3x  2) '( x  x )  (3x  2)( x 2  x ) '
2

1
1
1
1 13 1
1
2
y '  [ 3 * x ]* ( x  x )  (3x 3  2) *[2 x  x 2 ]
3
2
2
3

1 21
y '  x (x  x )  (3x  2)(2 x  x )
2
2

1
3

2

Ayudantía J. Morales - Apunte Optimización - 661

2.3. Derivarcuando hay División de por medio; se puede aplicar el procedimiento o bien
desarrollar la división y luego derivar (recomiendo el procedimiento).
'

f 
f '( x ) g ( x )  g '( x ) f ( x )
(
x
)

g
( g ( x )) 2
 
x2  3
y
4 x3
( x 2  3) '* 4 x 3  (4 x 3 ) '* ( x 2  3)
y' 
(4 x 3 )2
2 x * 4 x 3  [12 x 2 * ( x 2  3)]
y' 
4 x6
8 x 4  [12 x 4  3x 2 ]
y' 
4 x6
8 x 4  12 x 4  3x 2 4 x 4 3x 2
y' 

6
4x
4 x6
2.4. Regla de la cadena, es para cuando se tiene función sobre función; es decir no es sólo f(x);
usualmente se utiliza cuando se tienen polinomios en paréntesis elevados a potencias, o raíces
contiendo polinomios; o cuando se tiene una función que está definida para x y tenemos más
términos; lo que se hace es derivar desde lo más exterior e ir concatenando hacia el interior,en el
ejemplo parto derivando el paréntesis y por cadena se multiplica por la derivada del conjugado (lo
que se encuentra dentro el paréntesis).
Es decir la cadena funciona de la siguiente forma:

 g ( f ( x )) '
g '( f ( x )) * f '( x )

3

Ayudantía J. Morales - Apunte Optimización - 661

La derivada de g(f(x)) multiplicado por la derivada de f(x); hasta este punto se han de aplicar todaslas propiedades que correspondan.

y  3 x3  2 x  1
y  3(x  2 x  1)
3

1
2

1
1
1 3
y '  3* (x  2 x  1) 2 * (x 3  2 x  1) '
2
1
3 3
y '  (x  2 x  1) 2 * (3x 2  2)
2

En el Ejemplo se tiene una función dentro de una función; primero se transforma la raíz a
potencia; luego se deriva y se aplica cadena, lo primero es la derivada de;

3(x  2 x  1)
3

1
2

En donde se deriva de laforma

f ( x)  ax b
f '( x)  (ab) x b1
Quedando así.
1
1
1 3
3* (x  2 x  1) 2
2

Y luego se multiplica por la derivada del conjugado; la derivada de;

(x3 2x 1)
Que da como resultado:

(3x2  2)
Por lo tanto el resultado final es:
1
3 3
y '  (x  2 x  1) 2 *(3x 2  2)
2

4

Ayudantía J. Morales - Apunte Optimización - 661

Resumen Derivadas.

II. Derivadas parciales, determinantes deLaGrange, máximos y mínimos multivariados.
1.1. Derivadas parciales.
Si se tiene la función.

f ( x, y ) 

1
24  x 2  2 y 2
2

; Y se desea obtener la derivada parcial de f(x,y) a dx , se desarrolla

de la siguiente forma (se debe aplicar todos los conocimientos de derivadas).
En este caso se calcula la primera derivada de f(x,y) a dx; en donde todo término que no tenga x
será considerado como...