APUNTE SISTEMAS DE NUMERACIÓN

 UNIDAD III
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Un sistema de numeración lo constituye un conjunto de símbolos, leyes y convenciones, utilizadas para la representación de números.
En los sistemas de numeración intervienen 2 elementos, con el objeto que sean sistemáticos, un orden y una base.
Tal orden está determinado por la posición que tiene una cifra dentro del grupo. Por convención, este orden semenciona de izquierda a derecha.
Ejemplo: en el sistema de numeración decimal
1er orden → unidades
2do orden → decenas
3er orden → centenas, ..... etc.
La base es la que indica la cantidad de unidades que posee el orden, cualquiera sea este, y que se requiere para formar una unidad de orden superior

Ejemplo: para el sistema decimal, cuya base es diez, se tiene que cada diez unidades, se puedeformar una unidad de orden superior.

Ejemplo:
345(10 = 3.102 + 4.101 + 5.100 = 300 + 40 + 5

Definimos la notación posicional base m ( o radiz “m”) como
..a3 a2 a1,a0 , a –1 a –2 a –3 ....(m = ... a3 m3 + a2 m2 + a1 m1+ a0 m0 + a -1m-1 + a-2 m-2 + a-3 m-3 ...

Ejemplo:
243,1(5 = 2.52 + 4.51 + 3.50 + 1.5 –1 = 50 + 20 + 3 + 0,2 = 73,2(10
La notación decimal es un caso especial en que m = 10 ylos coeficientes de a se seleccionan del conjunto de dígitos decimales 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Las generalizaciones más simples se obtienen al tomar m como un número entero mayor que uno, y requiere que los coeficientes sean enteros en el rango . Con este enfoque se obtienen los sistemas numéricos estándar:
Binario ( m = 2 ) = 0, 1 Quinario (m = 5) =0, 1, 2, 3, 4Ternario ( m = 3 ) = 0, 1, 2 Senario (m = 6) =0, 1, 2, 3, 4, 5
Cuaternario ( m = 4 ) = 0, 1, 2, 3 Heptal (m = 7) =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
Hexadecimal ( m = 16 ) = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C ,D ,E ,F; donde A simboliza el 10, B el 11, C el 12, etc.
La base en que está escrito un número la indicaremos en un paréntesis como subíndice de ese númeroTEOREMA FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIÓN
Dado una base m de un sistema de numeración y un número natural p cualquiera, este puede desarrollarse siempre bajo la forma de un polinomio y solamente uno, de las potencias de m, cuyos coeficientes son números naturales menores que la base.
H) p N; m N; m > uno
T)
a) P (m) = p
b)

D) Dividiendo p por m llamando: q1 al cocienteu0 al resto
tendremos según la ecuación característica de la división: p | m
(1) u0 q1 | m
u1 q2dividiendo cada cociente entero nuevamente por m:
(2)
(3)
como m > 1, resulta .... los cocientes son decrecientes.
En la división resultará entonces que un < m
(4)
(5)

Escribimos nuevamente la igualdad (1) y multiplicando las demás por m, m2, m3, ....



.................................................


sumando miembro a miembro :
Reduciendo los términos semejantes:
p = u0 + u1.m + u2.m2 + u3.m3 + .... + un-1.mn-1 +un.mn

a) P (m) = p
b) U0, u1,u2,.....,un < m por ser restos de la división por m

OBSERVACIONES
Un esquema elemental para llegar a los resultados es la aplicación de la división entera,aplicada reiteradamente hasta obtener un cociente cero.
Los restos son los coeficientes del polinomio y el grado lo da el subíndice de cada resto, si se partió de u0.
p | m
u0 q1 | m
u1 q2 | m
.............................qn-1 | m
un-1 qn | m
un 0
u0; u1; u2 ; ...........; un-1 ; un...