Apuntes De Probabilidad Y Estadistica

UNIDAD VI
DISTRIBUCIONES DERIVADAS DEL MUESTREO, ESTIMACION Y PRUEBA DE HIPOTESIS
6.1 POBLACION Y MUESTRA (VER MANUAL)

6.2 ESTADISTICOS Y SUS DISTRIBUCIONES

6.3 DISTRIBUCION MUESTRAL NORMAL
TEOREMA 6.1 Si una muestra aleatoria de tamaño n se elige de una población que tiene media μ y varianza σ2, entonces X (testada) es un valor de una variable aleatoria cuyadistribución tiene media μ.
Para muestras tomadas de poblaciones infinitas la varianza de esta distribución es σ2x / n;
Para muestras extraídas de poblaciones finitas de tamaño N la varianza es (σ2x / n) *(N – n/ N – 1)
__
TEOREMA 6.2 Si X es la media de una muestra aleatoria de tamaño n extraída de una población que tiene media μ y varianza σ2 entonces,__
X -- μx
Z = _________________ es el valor de una variable aleatoria cuya función de distribución se aproxima
σx a la distribución normal estándar cuando n ∞
___
√n__
El teorema central del límite nos permite asignar probabilidades a intervalos de valores de la X. Independientemente de la forma de distribución de la población, la distribución de X (testada) es aproximadamente normal con media μ y varianza σ2x / n siendo n grande (n> 30).Ejemplo (Problema 6.8 del Manual)
Una empacadora de camarón exporta toda pieza que pese como mínimo 35 g. Para decidir a que precio compra el camarón pescado por una cooperativa, se seleccionan 50 camarones al azar, pesándolos uno por uno: si la media de la muestra es mayor que 33 g, la empacadora compra la mercancía al precio establecido para la exportación; de no ser así lopaga al precio del mercado nacional. ¿Cual es la probabilidad de que le paguen el precio del mercado nacional si en realidad la media del peso de los camarones es μ = 35 y σ2 = 36 g.

Datos
__
X = 33 Z = 33 – 35/( 6 /√50) = - 2 / 0.8485 = -- 2.35
μ = 35 (--2.35)z = 0.0094 menos del 0.0002 o menos del 0.02%
σx = 6
n = 50Ejemplo (Problema 6.4 del Manual)
La duración de cierto tipo de batería tiene una distribución normal con valor medio de 12 horas y desviación estándar de una hora. Hay 45 baterías en un paquete, ¿Cuál es la probabilidad de que el valor medio del tiempo de vida útil de las baterías esté entre 11.8 y 12.1 horas?
Datos
__
X = 12 Z =12 – 11.8/(1 /√45) = 0.2 / 0.1490 = 1.34 (1.34) z = 0.9099
Z = 12 – 12.1/(1 /√45) = -- 0.1 / 0.1490 = -- 0.67 (-- 0.67) z = 0.2514
P (11.8 ≤ X ≤ 12.1) = 0.9099 – 0.2514 = 0.6585 ó 65.85%
μ = 11.8 y 12.1
σx = 1
n = 45








6.4 ESTIMACION Y SUSPROPIEDADES (VER MANUAL)
El propósito de la estimación puntual es obtener una estadística (Función de las observaciones) que, una vez evaluada en la muestra, nos proporcione un valor que plausiblemente refleje el del parámetro desconocido. En este contexto, a la estadística en cuestión se le llama estimador.
Ejemplo.
Si x1,x2,...,xn es una muestra aleatoria de un modelo probabilístico enel cual E(xi) = ; var(xi) = σ2 (i = 1,2,...,n),  y σ2 son dos parámetros de interés.
Las estadísticas

__ n n __
x = 1/n  xi y s2 = 1 /(n – 1 )  ( xi – x )2
i = 1 i = 1...